斐波那契数列的内涵和应用价值

杨顺祥

一、斐波那契数列的由来

澳大利亚、新西兰本来是没有兔子的。

1859年，澳大利亚的墨尔本动物园从英国运来24只兔子供人观赏。不料，1864年的一天，动物园失火，幸免于难的兔子逃到草原上。一望无垠的大草原，不仅饲草丰美，没有天敌，野兔的繁殖非常快。到1928年，兔子数量狂增至40亿只，遍及澳大利亚的2/3地区。它们吃庄稼，毁坏新播下的种子，啃嫩树皮和牙，并且打地洞损坏田地和河堤。它们消耗了牧场牧草和大量灌木，使畜牧业面临着灭顶之灾。问题还在于兔子破坏了植被，又引起了水土流失。一时，兔灾成害，人民遭殃。新西兰也引进了兔子，32年兔成灾。

这些地区从实践中体悟到兔子繁殖的神奇速度问题，其实，早在630年以前，意大利数学家斐波那契就从理论上论述了这个问题，只是那时没有引起注意，在他的《算盘书》一书中，就说到了兔子繁殖问题。

题意是：假設一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对兔子，一年内繁殖成多少对兔子？

对于n=1，2，……12，令 表示第n个月开始时兔子的总对数， 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数，则

显然，F1=1，F2=2，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和， 按照这个规律写下去，就得：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

这就是斐波那契数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，这个数列又叫黄金数列。

列昂那多又名斐波那契，所以这个数列称作斐波那契数列，其中每一项称作斐波那契数。

二、斐波那契数列的內涵

1.在斐波那契数列中，前后两项的比值 是以黄金数0.618为极限的。

2.斐波那契数列的任意相邻四项满足 。

3.在斐波那契数列中或根据数列后一项是前两项之和形成的类斐波那契数列中，有前十项之和等于第七项的11倍。

4.科学家发现无论在数学领域还是在自然界中都有很多有趣的现象与斐波那契数列有关。

三、斐波那契数列的应用价值

1.应用举例

斐波那契数列的重要价值还在于它能作为一些实际问题的数学模型，从而使复杂的实际问题转化到我们熟悉的数学问题的解决上。

问题一：一枚均匀的硬币掷10次

问：不接连出现正面的可能情形共有多少种？

解：设将这枚硬币掷了n次，没有接连出现正面的数目为 ，则 = 2 =3（正——反，反——正，反——反）， =5

一般的，若第n+2次掷出的是反面，则第n+2次中无接连出现正面的数目是 ；若第n+2次掷出的是正面，则第n+1次需掷出反面，这样无接连掷出正面的数目为 ，所以 = + ，n=1，2，3……

这样， = + =8， = + =13， =21， =34， =55， =89， =144.

所以，不接连出现正面的可能情形共有144种。

问题二：街头叫卖声与斐波那契

“街头叫卖声”是怎么操作的？有最佳的操作方案吗？

解：（1）操作方法如下。

操作时，需两台录音机，相互之间反复播音和录音。当一台录音机播音时，另一台录音机同时开始录音，如此方法操作。

第一步：第一台录音机先直接录入一段人的叫卖声。

第二步：第一台录音机播放刚才录的那段声音，同时，第二台录音机录入这段声音。

第三步：第二台录音机播放刚才录的那段声音，同时，第一台录音机在上次录的磁道后，接着录入这段声音。

第四步：第一台录音机播放前两次录的那段声音，同时，第二台录音机在上次录的磁道后，接着录入这两段声音。

如此反复，直到录到所需要的时间长度为止。

（2）设将第一步录入的声音遍数记作 ，第二步录入的声音遍数记作 ，在第三步中，总录入的声音遍数记 ，……在第n步中，总录入的声音遍数记 ；由上面的操作步骤，得 =1， =1. （n 3）

（3）若吆喝一遍叫卖声，连同中间停顿共需10秒钟，那么录制一盒长为1小时的磁带只需操作几步？

所录制的长度依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……

因为377>3600/10，故连续操作14次就可以录制一盒可以播放1小时的磁带。

2.雄蜂家族问题

从蜜蜂的繁殖来看，雄蜂是由未受精卵孵化而成的，只有母亲，没有父亲，而雌蜂是由受精卵孵化的，所以有一父一母，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，一只雄蜂仅有一个母亲，没有父亲，所以两代的数目皆为1；而这只雄风的母亲（雌蜂）必有一父一母，所以第三代的数目是2；而第三代的雄蜂又仅仅有母亲，雌蜂则又有一父一母，所以第四代的数目是3；按照这个规律，则一只雄峰每代的祖先的数目刚好就是“斐波那契数列”。

3.树木生长问题

如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝，这样，第一年只有主干；第二年有2枝；第三年有3枝；接下去是5枝，8枝，13枝……那么把这些树枝数排起来，也构成一个“斐波那契数列”。

4.斐波那契数列与魔术

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，好多魔术家运用障眼法及数学原理，让我们百思不得其解。

总之，神奇的斐波那契真的是不可思议，他的发现不仅让数学又踏入了一个高峰，更重要的是他对数学及其他领域的贡献，他把人们引入一个神奇而又神秘的境界，不仅探索它的性质，寻觅它有生命的数字秘密，而且繁衍出许多有缺的数学游戏，魔术、拼图等。斐波那契数列的内涵和它的应用价值还不仅仅是以上所述的这些，在许多领域里它都有广泛的应用。人们掌握的只是些凤毛麟角，可见这个黄金数列的前途是无可限量的。