善学多思 活学活用

张伟

一、优化解题方法，提高解题效率

例1 求二元一次方程x+3y=7的正整数解.

【分析】二元一次方程（组）的每一个解，都是一对命运共同体，需用大括号联立起来，彼此分割不得.我们利用枚举法可以发现，一元二次方程的解有无数多个，所以一元二次方程也被称作不定方程.我们可以通过限制属性——正整数解得到有限个解.

【答案】[x=4，y=1，]或[x=1，y=2.]

【延伸】要求一元二次方程4x+3y=32的正整数解，先确定哪个值更简便呢？若两个值不相上下，有没有更佳途径？在这里我们可以先用含其中一个字母的代数式表示另一个字母，有两种途径：①y=[323]-[43x]；②x=8-[34y]，从而求出对应的值.我们可以发现途径②更简便，因为若x是正整数，y必须是4的倍数，这样，y可以从4开始代入求值，尝试3次即可，而且计算方便.

二、代入加减哪家好，方便才是真的好

例2 用代入消元法解方程组[2x+3y=50，x-y=-5.]

【分析】二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，求方程组的解的本质是化“二元”为“一元”，最常见的方法有代入消元法或加减消元法.使用代入法时，从方程组中选择一个字母系数比较简单的方程先进行变形，用含有x（或y）的代数式去表示y（或x），即变成y=ax+b或x=ay+b的形式，然后将其代入另一个方程中，消去一个元，得到关于另一个元的一元一次方程.这里需注意，不能代入原方程中.

【答案】[x=7，y=12.]

例3 解方程组[3x+5y=25，①4x+3y=15. ②]

【分析】通过尝试我们不难发现代入法固然可以使用，但计算较繁琐.我们可以用①×3，②×5，将①②转化成含相同字母系数的两个方程，然后再将两个新的方程相减，消去y.

【答案】[x=0，y=5.]

【点评】解方程组时，应先观察未知数的系数的特點，如果未知数系数中有1或-1，可以优先采用代入消元法；如果同一未知数系数绝对值相等，可以采用加减消元法，但这只能解决少部分的方程组.更多的时候需要我们开动脑筋，通过对方程进行变形，从而转化为我们熟悉的局面，如果出现同未知数的系数成倍数关系或较复杂的情形时，宜用加减消元法.解方程组时万变不离其宗的是将“多元”转为“一元”，达到化生为熟的目的.

三、二元一次方程组，解决问题的法宝

例4 上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体.日前，某通信公司推出消费优惠新招——“定制套餐”.消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.

小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600-500）=87元.

（1）甲定制了600MB的月流量，话费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值.（注：1GB=1024MB）

（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量.二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值.

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是找出题目中所包含的等量关系，列出符合题意的方程.列方程时需注意“阶梯”，不要重复计费.

【答案】（1）a=0.15，b=0.05；（2）m的值是0.08.

【点评】对于相对复杂的问题，同学们可以用列表或示意图帮助自己厘清问题中已知量和未知量之间的数量关系，从而有效地列出方程组解决问题.

亲爱的同学们，通过以上的学习、总结，你是不是对“二元一次方程组”的学习更有信心呢？希望大家都能拥有一双智慧的眼睛，养成从多个角度思考问题的习惯，人人都能享受到利用数学知识解决实际问题的乐趣.

（作者单位：江苏省盐城市初级中学）