恒加应力水平下混合指数-威布尔分布的EM估计

李建丽，李海增，李江杰

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

恒加应力水平下混合指数-威布尔分布的EM估计

李建丽，李海增，李江杰

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

指数-威布尔分布是一种应用广泛的寿命分布，文章探讨了在恒加应力水平下的两个指数-威布尔分布构成的混合分布，利用EM算法对该混合分布中的参数进行了估计，并给出了参数估计的迭代式。

混合指数-威布尔分布；加速寿命试验；EM算法；完全数据

寿命数据分析现今已成为一热门领域。对于单个寿命数据总体的统计分析已十分成熟，而在实际应用中，也会经常遇到混合分布的情况，混合分布模型在处理复杂数据和样本中具有良好的适应性和模拟性。目前，有许多学者对混合分布展开了研究，如朱利平等[1]研究了在完全数据下的混合指数分布的参数估计。在寿命分布中，指数-威布尔分布[2]EWD）是一种重要的分布，其分布函数和概率密度函数分别为：

（1）式中固定参数α=α0，并令xα0=t，则（1）式转化为：

张晓勤等[3]用ECM算法研究了（1）式分布构成的混合分布在正常应力水平下的参数估计问题。冯艳等[4]探讨了（2）式分布在截尾情形下的参数估计。

现今随着科技的发展，高可靠性、长寿命的产品越来越多，此时正常应力水平下进行的可靠性试验已不再适应。而加速寿命试验可以在保持失效机理不变的情况下，加快产品的失效，在短时间内可获取产品可靠性指标的评定。加速寿命试验中最常见的一种试验是恒加应力试验。对于单个分布的加速寿命试验，茆诗松，王玲玲[5]已进行了很好的研究和总结。但是对于多个分布组成的混合模型的加速寿命模型的研究比较少见。文章将研究恒加应力水平下由（2）式分布所构成的二阶混合指数-威布尔分布在完全数据场合下的参数估计。

基本假定：

假定一：在恒加应力水平S1…，S（kS0＜S1＜…＜Sk）下，产品占总体的比例批p保持不变，产品的寿命服从混合指数-威布尔分布，其密度函数为：

假定二：产品的中位寿命t0.5与应力水平S之间有如下关系：

其中aj，bj为未知参数，Φ（S）i是Si的已知函数。

定理 二阶混合指数-威布尔分布的参数的估计迭代公式分别为：

证明 设第i个应力水平下第j个产品的寿命tij服从混合指数-威布尔分布，根据基本假定，则可知tij的分布为：

引进一示性变量Iij,Iij=1表示tij～f（itij，1），Iij=0表示tij～f（itij，2），可知Iij～b（1，p）。由于不知道tij来自fi（tij，1）还是f（itij，2）的指数-威布尔分布总体,故Ii是不能被观测到的随机变量。

tij和Iij的联合分布即完全数据的分布为：

根据贝叶斯公式，Iij在tij给定的条件分布为：

给定初值η0，EM算法的步骤如下：

文章主要探讨了恒加试验条件下，混合指数-威布尔分布在完全数据情形下的参数估计问题，进一步还可以讨论该混合分布在恒加应力条件下在截尾数据情况下的参数估计。

［1］朱利平,卢一强,茆诗松.混合指数分布的参数估计［J］.应用概率统计,2006,22(2)：137-150.

［2］Mudholker G S,Srivastava D K.Exponentiated Weibull family for analying bathtub failure data［J］.IEEET rans.Reliab,1993,42：299-302.

［3］张晓勤,王煜,卢殿军.混合指数威布尔分布的参数估计［J］.河南大学学报(自然科学版),2012,42(3)：230-233.

［4］冯艳,师义民,严惠云.定数截尾情形下指数-威布尔分布参数的Bayes估计［J］.数学的实践与认识,2007,37(5)：65-70.

［5］茆诗松,王玲玲.可靠性统计［M］.上海：华东师大出版社,1984.

（责任编辑 赵巨涛）

O212

A

1673-2014（2017）02-0028-02

山西省高等学校大学生创新创业训练项目（2015429）；长治学院科研项目（201606）

2017—02—11

李建丽（1983— ），女，山西高平人，讲师，硕士，主要从事概率统计方面的研究。