太阳影子定位模型

赵雪圻+张峻康

摘 要：根据某处实际测量得到的直杆影子数据，建立地球坐标系和天球坐标系，引入太阳高度角、赤纬、太阳时角、时差等参数变量的关系并加入Bourges算法和影长、太阳方位角之间的关系，建立数学模型。得出的模型用软件仿真，与实际的影子变化进行对比，再用曲线拟合，根据已知数据求得不同地点的位置。由于为多变量优化问题，所以时间测量点虽然唯一，但符合要求解不唯一，即直杆所处的可能地点为北纬19.21，东经108.43，该地点在海南，或者为南纬3.9412°，东经137.3°，该地点在为印度尼西亚纳比雷附近。通过减少已知量，仅使用直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标对模型进行改进，求得第二次曲线拟合后符合要求的点。

关键词：太阳高度角 影子长度变化曲线 拟合函数求参数 阴影轨迹定位

中图分类号：O24 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）04（c）-0027-02

Abstract：According to the actual measurement to get somewhere rods shadow data， establish the earth coordinate system and the celestial coordinate system， introducing the Angle of the sun， declination， and when the sun Angle， of variable parameters， such as the time difference， and join the Bourges algorithm and the relationship between the solar azimuth， mathematical model is established. With that model with the software simulation， compared with the shadow of the actual change. Secondly using curve fitting based on the location of the known data obtained at different sites. Due to the multiple variable optimization problem， so not sure the actual point. Namely， straight rod may place for north latitude and 19.21 east longitude 108.43 change locations in hainan. Or to 3.9412 degrees south latitude， 137.3 degrees east longitude. The place near the nabi ray for Indonesia. Finally by reducing the known quantity， use only the rods in the sun shadow vertex coordinates on a level surface to improve the model， obtained the corresponding points.

Key Words：Solar altitude angle；Shadow length change curve；Fitting function to find parameters；Shadow location

确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是使用确定的方法通过分析视频中物体的太阳影子的坐标变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。通过影子对于直杆的太阳照射角度变化的数据能够分析出具体地点即为太阳影子定位技术。近年来，国内外不少学者对此有过不少研究。该文通过数据对已有的参数建立数学模型来求解，得出一系列符合的地点。

1 影子定位模型

由于地球的自转和公转导致了太阳位置相对于地面静止物体的运动。此变化是周期性和可以预测的。地球极轴和黄道天球极轴存在一个23°27′的夹角，引起了太阳赤纬角的变化。因此，以地球为质心分别建立地球坐标系天球坐标系。白天太阳在天空中位置的变化可以确定直杆的影子的长度和位置变化。太阳的方位可以使用两个角度确定：一是太阳高度角；二是太阳方位角；对于固定的太阳高度角，方位角的任何变化对影子长度都不会造成影响。对于所产生影子的长度变化，其影响因素只有太阳高度角，分析太阳高度角，建立太阳影子长度变化的曲线。假设的杆长量是未知的，所以将杆长设为所求解。考虑太阳方位角的变化与时间的关系确定测试点的位置。得出公式：直杆与太阳高度角和影子长度的关系为：l=H*cot（h）（l为直杆影长、H为杆长）。

太阳高度角：sin（h）sin（W）sin（δ）+cos（W）cos（δ）cos（a）（W为纬度，δ为赤纬，a为太阳时角），赤纬为太阳在此日期太阳直射点的纬度位置，即利用Bourges算法確定赤纬值：δ0.37+23.3sinω+0.114sin2ω-0.17sin3ω-0.76cosω-0.37cos2ω-0.02cos2ω得出联立后的影子长度的数学模型：L=Hcotarcsin[sinWsinδ+cosWcosδcos（15°（T-12））]。

2 模型的应用

首先，根据所得出的理论数学模型，将对于已有的直杆的太阳影子图像用MATLAB仿真。与实际的数据图像进行对比。将输出已知的日期换算为天数，纬度为39.9°，经度为东经116.4°，杆的高度为3 m，时间段为北京时间9：00～15：00。将以上数据带入公式，函数为：L=3cotarcsin[sinWsin（-11.5）+cosWcos（-11.5）cos（15?（T-12））]。其次，考虑到该地的经度116.4°和北京时间的经度120°不同，故其存在一定的时差，把时差考虑进模型，对模型进行改进。代入数据：L=3cotarcsin[sinWsin（-11.5）+cosWcos（-11.5）cos（15?（T+0.24-12））]。最后，通过利用太阳高度角和影长的关系，得到最后的函数，从而确定了不同地点影长和时间关系的模型。通过改进太阳位置的公式，对模型进行优化。对赤纬的计算采用Bourges算法，得出图像与实际图像对比，发现与实际图像相似。

通过MATLAB用数据拟合得到模型。

得出结论：W=19.214 2，J=108.4374。直杆所处的地点为北纬19.21°，东经108.43°。通过经纬度查询得到该地点在海南，W=-3.9412，J=137.3682，直杆所处的地点为南纬3.9412°，东经137.3°，通过经纬度查询得到该地点在为印度尼西亚纳比雷附近。

考虑到模型数据中坐标的建立的坐标系未规定方向，所以对影子顶点坐标进行了平方和开平方根的运算，得到了影子长度的变化数据，这样处理去掉了x和y的信息，原数据中也没有规定x，y轴的方向，故此处理对结果不会产生影响。在分析中，利用太阳影子定位模型进行求解，求解的结果为两个地点，两个地点的经度接近，纬度一个为北纬一个为南纬。对所求解的地点进行验证，对于所求得的正午太阳高度角为81.63°，通过正午太阳高度角查询得到该地当日实际的太阳仰角为81.44°。对于上述点的计算值和其实际值误差很小，说明该模型对于地点的确定精度也较好。

3 模型的改进

进一步分析，对模型进行改进，当存在某些原因时，会产生已知数据不清楚的情况。所以通过分析，仅使用直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标这一原数据，利用上述模型进行曲线拟合，求解直杆的地点和日期时，赤纬为δ=0.37+23.3sin（ω）+0.114sin（2ω）-0.17sin（3ω）-0.76cos（ω）+0.37cos（2ω）+0.02cos（2ω）。建立以下模型：L=Hcotarcsin[sinWsinδ+cosWcosδcos（15°（T+（J-120）15-12））]。

由测量得到数据是影子的 x，y坐标和对应的北京时间，通过优化处理得到时间、影长和太阳方位角的数据。通过 MATLAB将上述数据带入模型，进行拟合得到时间和影长的函数图像。

得出结论：W=39.8887 J =79.7925，u=20.7551，故地点为：北纬39.88°，东经79.7925°，赤纬值20.7。推测出日期为：5月25号和7月20号。该地点在新疆图木舒克市。W=-39.888 7，J=79.792 5，u=-20.755 1，故地点为：南纬 39.88°，东经79.792 5°，赤纬值-20.7，推测出日期为1月17号和1月26号在印度洋中。

4 结语

该模型从对全球的角度进行分析，直杆数据为已知，进而检测模型的准确性，但却可以求出除了已知地点之外，很多符合条件的可能的地点和对应的日期，说明模型的覆盖范围较为广泛，可以得到多组符合条件的点。然而测量得到的数据是影子顶点的坐标位置，而模型通过分析与化简后得到的只有影子长度，再从原模型改进到新模型的前提下，在未知的量来说，多了一个杆的高度此参数，提高了计算难度，增加了求解出其他参数的误差。但相对于减少一个已知量而言，此答案为较优解。

通过利用太阳方位角和时间的函数关系，利用数据分别設方位角和时间为自变量与因变量，可以确定两个变量的多组对应数据。进而使用以上数据对其满足的函数使用拟合的方法求参数，即赤纬，纬度和经度，得到此情况下较优的多个地点和日期。把所引用的模型的影长和时间的关系当做一个约束函数，和新的模型方位角和时间的关系当成另一个约束函数，两函数所共同得出的解即为所求的准确的时间和地点。

参考文献

[1] 桂文胜，李涛.太阳位置公式的改进及应用[J].水能源科学，2011，29（9）：213-216.

[2] 李志涌.MATLAB教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2010.

[3] 艾冬梅.MATLAB与数学实验[M].北京：机械工业出版社，2014.