基于压缩感知的声纳成像信息重建技术研究

刘尚 安效峰 陈明

（杭州应用声学研究所杭州310023）

基于压缩感知的声纳成像信息重建技术研究

刘尚 安效峰 陈明

（杭州应用声学研究所杭州310023）

人类对海洋的探索发现中，由于水下环境复杂使得水下声数据面临着高速采集、压缩和图像重构的问题。新兴的压缩感知理论提出，能用低采样率高概率地重构原始信号。论文研究了DCT和DWT两种变换基对声纳图像进行稀疏表示，并改进了一种在低采样率下重建稀疏图像的测量矩阵，通过仿真实验论证了该矩阵相对其他矩阵在低采样率下有效提升了重构图像质量，为利用少量数据重构水下图像提供了便利。

压缩感知；水下图像重构；测量矩阵

Class NumberU666

1 引言

众所周知，海洋面积占地球表面积的百分之七十一。近年来随着地球人口的与日俱增，陆上资源的不断消耗，海洋资源成为人类目光聚焦的新空间。不仅如此，海洋在各国军事上的战略地位也愈发凸显，沿海国家对于维护国家安全意识也更加强烈。声纳是利用水下声波对目标进行探测和定位的设备，因而水面舰艇、潜艇、水雷、鱼雷、水下暗礁、鱼群及其它能发出声波或产生回波的水下物体，均可以作为声纳的探测目标，声纳成像技术通过图像可以获得目标的特征信息，并在此基础上进行目标的识别和分类。

要实现水下声图像的高速传输，急需解决的问题是对图像进行高效的采集、压缩和图像重构。压缩感知（Compressed Sensing，CS）是近年来新兴的一个理论，它打破了奈奎斯特采样定理的限制，提出用少量数据就能重构出较为理想的信号。本文主要研究压缩感知理论和声纳图像重构技术的融合，改进了一种基于压缩感知的声纳图像重构的观测矩阵，通过仿真实验验证了该方法在声纳图像重构中的可行性及高效性。

2 压缩感知理论架构

由Doho，Cades［1～2］及华裔科学家Tao等提出的压缩感知理论表示：如果信号通过某种变换（如傅立叶变换，小波变换等）后，是可稀疏表示或可压缩的，则可设计一个与变换基不相关的测量矩阵测量信号，对得到的测量值求解优化，实现信号的精确或近似重构［3］。声纳成像技术都需要采集大量的数据来进行图像重构，而CS理论可以直接获取少量包含绝大部分目标信息的数据，经过重构得到需要的水下图像。

压缩感知理论主要包括三部分：一是信号的稀疏表示；二是设计测量矩阵，要在降低维数的同时保证原始信号x的信息损失最小；三是设计信号恢复算法，利用M个观测值无失真地恢复出信号长度为N的原始信号。

2.1 信号稀疏表示

假设信号x∈RN是空间中的一个N×1维信号，它可以表示为一组标准正交基的线性组合：式中变换系数αi=x，ψi，i=1，2，…，N；α=[α1，α2，…，αN]T是一个Nx1维的变换系数向量。如果公式中仅有K(K≪N)个非零系数（或远大于零的系数）αi时，则称信号x在基Ψ上是稀疏的（或是可压缩的），称Ψ为信号x的稀疏基，K为信号的稀疏度。显然，向量x和α是同一个信号的等价表示，x是信号在时域（如语音信号）或空域（如图像信号）的表示，α则是信号在Ψ域的表示。

信号的稀疏表示是CS理论应用的基础和前提，只有选择合适的稀疏基来表示信号，才能保证信号的稀疏性，从而保证重构精度。目前常用的稀疏变换［4］有离散傅里叶变换（DFT），离散余弦变换（DCT），离散小波变换（DWT），过完备冗余字典［5］等。

2.2 非相关测量

压缩感知理论中对稀疏信号x的测量并不是直接测量信号x本身，而是通过非相关矩阵将高维信号x投影到低维空间上。设与信号x或是与变换基Ψ不相关的测量矩阵为Φ，维数为M×N(M＜＜N)，则CS理论的采样过程可以表示为：

将式（1）代入式（2）中得到

式中，Θ=ΦΨ是M×N的矩阵，又称为感知矩阵。构造测量矩阵时最重要的是保证图像投影时能尽可能多地把结构信息等投影到测量矩阵上［6～7］，信

目前常用的重构算法可以简略归纳为3类：最小l1范数法，贪婪算法，迭代阈值法。其中贪婪算法主要思想是通过迭代计算x的支撑集获得重构信号，具有低复杂度和简单几何运算的优点。文献［11，13］中描述了主要常用的贪婪算法，包括匹配追踪MP算法（Matching Pursuit，MP），正交匹配追踪OMP算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP），压缩采样匹配追踪COSAMP算法（Compressive Sampling Matching Pursuit，COSAMP），子空间追踪SP（Subspace Pursuit）算法以及它们的改进方法。息越完整重建图像的质量越好［8～9］。同时，选定图像具有稀疏表达的稀疏基Ψ，且Φ与Ψ越不相关，图像重建质量越好。文献［3］给出了两种随机测量矩阵：高斯随机测量矩阵和贝努里测量矩阵。比较常用的还有稀疏测量矩阵、部分哈达玛测量矩阵、托普利兹矩阵和循环矩阵等。

2.3 信号重构算法

信号的重建［11］是从M维的测量信号y恢复N维原始信号x，由于直接解式（2）的逆问题是一个病态问题，无法求解。但是如果信号x具有稀疏性，式（3）的α中仅有K个非零系数，只要满足M≥K，即可以通过求解式（3）的逆问题得到稀疏变换信号α，再代回式（1）就可以进一步恢复出原始信号x，重构算法过程如式（4）。

3 随机测量矩阵研究

一般的托普利兹和循环矩阵具有以下的形式：

其中，T矩阵代表的是托普利兹矩阵，C矩阵表示的是循环矩阵，矩阵元素t是随机的±1。

这两种矩阵存在下面的缺点：1）矩阵的组成元素都是随机向量产生的±1，且独立的服从贝努利分布，利用行向量通过循环移位生成整个矩阵，元素的重复出现概率较大，容易造成列向量直接具有较大的相关性；2）构造过程采用单一行循环的方式，列向量难以体现矩阵的独立随机性。

本文通过改变随机向量的元素组成和调整部分元素的系数以提高列向量间的非相关性和独立随机性，改进和构造了新的测量矩阵——广义稳健循环矩阵。矩阵的构造过程为：首先随机生成长度为N、元素为-1和1之间的随机数向量u=[]

r1，r2，…，rn-1，rn作为测量矩阵的第一行，采用依次循环的方式获得第二行至第M行，并且在构造过程中剩余的M-1行对每次移到前端的元素乘以一个固定的系数a＞1，保证了列向量之间的线性独立性。最后对M×N矩阵的列向量归一化。如此优化处理后的矩阵相比循环矩阵的列向量独立随机性增强、而其相关性大大降低。具体形式如式（6）式：

4 声纳图像的实验仿真

本实验中选择典型的256*256声纳沉船灰度图像，如图1所示。对图像分别采用DCT和DWT变换基Ψ进行稀疏变换，采用高斯随机矩阵作为测量矩阵Φ对图像进行测量得到测量值y，采用正交匹配追踪OMP算法求解出α后重构出原始图像。图1～2是在采样率为M/N=0.8，M/N=0.5时，利用DCT和DWT变换基对声纳图像的重构结果。

对于图像的重建效果，通常采用峰值信噪比（PSNR）作为衡量的标准，PSNR是最普遍，使用最广泛的评价图像重建效果的客观标准，它的定义为

其中，MSE是原图像和处理图像之间的均方误差。由图1～2及表1可以看出，DCT和DWT变换基在采样率为0.8时可以高精度的重构出原始声纳图像。随着采样率变小，重构图像的信息量也随之减少，重构精度也变小。

表1 声纳图像重构误差比较

由初步的声纳图像重构误差比较数据可知，DCT变换较DWT变换的重构误差小。接下来的仿真实验对源图像采用DCT变换基Ψ进行稀疏变换，通过采用高斯随机矩阵、托普利兹矩阵、部分正交矩阵、广义稳健循环矩阵、哈达玛矩阵、随机观测矩阵等不同测量矩阵Φ得到图像观测值，再采用正交匹配追踪OMP算法重构出原始声纳图像。具体重构结果如图3～图4所示。

仿真实验结果表明，诸多测量矩阵中托普利兹矩阵和广义稳健循环矩阵重建后的峰值信噪比略高于其他测量矩阵。随着采样率提高，重建图像的峰值信噪比也增高，重构误差随之减小。同时，在低采样率条件下，本文改进的广义稳健循环矩阵的图像重建效果略高于托普利兹矩阵和其他测量矩阵，这为水下图像稀疏采样及高速传输，压缩编码时去冗余信息的方式上提供了新的方向。由试验数据可知将压缩感知理论应用于声纳图像压缩传输和存储是一项可行的技术，通过改进构造合适的随机测量矩阵，在少量投影值中包含足够的原始图像信息，即可高概率的重建原图像。

5 结语

制约成像系统发展的瓶颈问题主要是信息采样，压缩感知理论为其提供了一种新的思路。本文将压缩感知的方法运用到声纳图像的低采样率重建中，研究了在离散余弦变换和离散小波变换基下声纳图像的重建效果比较。并根据测量矩阵的随机性原则，改进了一种稀疏声纳图像压缩感知的测量矩阵。通过性能分析和仿真实验，从视觉效果和图像PSNR方面可见，稀疏图像的重建效果和精度都得到一定提高。

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Research for Sonar Image Information Reconstruction Based on Compressed Sensing

LIU ShangAN XiaofengCHEN Ming
（Hangzhou Applied Acoustics Institute，Hangzhou310023）

Humans are faced the problems with high-speed sampling，compressing and image reconstruction due to complex underwater environment in the process of the discovery for oceans.Recently the new theory of compressed sensing is proposed，in which the signal can be reconstructed in high-probability by a low sampling rate.This paper has researched the sparse representation for the sonar image by the conversion called DCT and DWT.It improves a measurement matrix when the sparse image can be reconstructed.Simulation results demonstrate that the matrix can obviously enhance the sparse image reconstruction quality against others，which provides convenience for the reconstruction by using less data.

compressed sensing，under image reconstruction，measurement matrix

U666

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.06.030

2016年12月19日，

2017年1月23日

刘尚，男，硕士，助理工程师，研究方向：声纳信息处理。