基于有限元法的恒温浴缸设计

张静怡，杨柳丛，阎少宏，王钰博，赵家敏

(1.华北理工大学 经济学院，河北 唐山 063210；2.华北理工大学 信息工程学院，河北 唐山 063210；3.华北理工大学 数学建模创新实验室，河北 唐山 063210；4.郑州大学 土木工程学院，河南 郑州 450000；5.华北理工大学 创客实验室，河北 唐山 063210)



基于有限元法的恒温浴缸设计

张静怡1，杨柳丛2，阎少宏3，王钰博4，赵家敏5

(1.华北理工大学 经济学院，河北 唐山 063210；2.华北理工大学 信息工程学院，河北 唐山 063210；3.华北理工大学 数学建模创新实验室，河北 唐山 063210；4.郑州大学 土木工程学院，河南 郑州 450000；5.华北理工大学 创客实验室，河北 唐山 063210)

有限元法；浴缸恒温；散热量；优化设计

当今社会产品的人性化程度和节能环保性能效果是决定销售量的重要指标，而传统浴缸在这2个方面仍存在技术缺陷。该项目提出了一种基于有限元法的恒温浴缸设计模型，使浴缸在不使用辅助加热系统情况下，更有效地保温和节水。该浴缸模型在人机工程学理念的基础上，通过热水自动注入的方法使得浴缸中的水温保持恒定，再通过改变出、入水口位置达到节水效果，最终实现恒温浴缸的设计需求。其设计可以更好地满足节能性和舒适度的要求，同时可以实现机械智能化，具有较好的参考与实用价值。

0 引言

目前市场上提供的恒温浴缸产品大多是通过限温开关控制加热电源的方式对水温进行控制，该方式不能实现按照人们的需要调节水温，另外也不能达到人们对淋浴时舒适度的要求。而且浴缸的种类繁多，单纯从浴缸的布置形式上就有搁置式、嵌入式、半下沉式3种，但是目前市场上提供的浴缸大多只是简单地作为一个水容器，当沐浴时间过长后水温会明显转凉，所以改善这种浴缸现状很有必要。该项研究提出了一种基于有限元法的恒温浴缸设计方案，能实现恒温浴缸的所有功能需求，水温调节也比较方便，而且能满足人们对淋浴时舒适度的要求。

1 浴缸设计存在的问题

通过实地调查研究，发现不含加热系统的浴缸恒温设计存在以下几个方面不足：

(1)存在温度控制不合理、水进出口的位置设置不合理等问题。

(2)人们在泡澡的过程中，由于浴缸的水温大于室内的温度，所以浴缸中的水与室内的空气会发生热传递，导致在沐浴过程中水温不断降低。

(3)在对浴缸进行加水和放水的过程中，发现进出口的位置也同样会影响浴缸的水温。

2 恒温浴缸设计

针对浴缸的市场调查结果，从3个方面对浴缸进行设计：进出口位置、水温控制、舒适度。

2.1 进出口位置的设计

浴缸保温性能对人体舒适度有很大影响，在注水情况下出水口和入水口位置常会出现水体对流现象，浴缸中流体计算的目标是获取人体周围水流速度和压力的分布情况，对流场的湍流应用周围流体算法(SFA)[1]。SFA算法是根据容积比函数F来构造表示出各个自由表面，是一种将复杂自由表面规范化的有效方法。

使用周围流体算法对流体数据在时间和空间上进行离散处理，得到出水口和进水口位置影响水循环的3种方式：即前后进水循环方式、两侧进水循环方式和四周进水循环方式。图1所示为出水口和进水口位置影响水循环的3种方式，图1(a)、图1(b)和图1(c)3个图的左右分别为浴缸的前后，上孔为前侧出水口，下孔为后方出水口，与前侧位置相同。

图1 出水口和进水口位置影响水循环的3种方式

从图1(a)可知，从浴缸的前后2个方向注水，直接作用于人体表面，在中间相遇再向四周扩散，浴缸前端注水直接作用于人体背部，从人体背部沿身体表面扩散，浴缸后端注水直接作用于人体小腿，沿小腿表面向上扩散，最后从浴缸底部的出水口流出[2]。

从图1(b)可知，从浴缸的左右2个方向注水，直接作用于人体两侧，在人体正面相遇再向四周扩散，依次向人体两端和人体后方传播，在人体两侧常会出现2个涡旋，最后从浴缸底部的出水口流出。

从图1(c)可以看出，从浴缸的四周注水，通过4个方向对人体进行作用，前面方向直接作用于人体的背部，后方作用于人的脚部，两侧的水多作用于人体两侧，并会在人体两侧形成涡旋，制约对后方以及脚部水流的速度，影响人体的舒适感。

当水进入浴缸冷却过程中，任一时刻都满足能量守恒方程：

(1)

式中Qα，Qβ，Qγ，Qφ分别为目标函数依次为前后和两侧的气体导热和辐射换热的总和，加水之前和之后温度保持恒定，故类似可写出水在冷却过程中的能量守恒方程：

(2)

λ为空气的导热系数，λ为热水与温水之间的对流速率。

(3)

方式a水流的速度整体处于平衡状态，在人体正面中部的水流速度较小。

方式b水流在人体两侧速度最快，经过涡旋，速度下降，但在人体大部分区域仍是较大水流速度，之后在出水口处速度下降最快。

方式c身边两侧分别作用于方式a的薄弱地带，这种注水形式对方式a的优化，制约对后方以及脚部水流的速度，这同样也是方式b的优化。

根据人体表面的速度等同于人体水流速度，进出水口直径为20 mm，方式c的人体表面水流速度为最优，更人性化，综合考虑，浴缸的出水口位于底部，入水口分别在前后及两侧的中部位置安装2个入水口，注水时同时进行。

2.2 水温控制

在热力学中，由于热的耗散性，浴缸与环境之间总是存在着热传递，这必然会使浴缸中的水降温，温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量，水温逐渐冷却时所遵循的规律[3-4]。图2所示为浴缸与环境的热传递过程。

图2 浴缸与环境的热传递过程

该能量交换可以利用牛顿冷却定律进行计算，牛顿冷却定律是指：在物体处于自然冷却的情况下，浴缸中水的温度T高于外界温度T0，且T与T0之差较小时，由于表面热传递而散失热量的速率和(T-T0)成正比，牛顿冷却定律可以修正散热误差，所以，设浴缸中的水的比热为C1，室内空气的比热为C2因为在浴缸中的水在空气中会逐渐冷却，浴缸水的散热可以得到：

(4)

任意时刻为t，浴缸中水的温度为T，则单位时间内由于浴缸中的水自然散热散失的热量为：

(5)

随着时间的推移，浴缸中的水温不断降低，则浴缸系统的散热速率dQ/dt也将不断的减小，若时间无限长，浴缸的水与室内空气会达到吸热与散热的平衡状态，此时的平衡温度为TM。所以，浴缸中的水向空气中散热散失的热量Q为：

(6)

而浴缸内的水的散热分为2种散热形式，分别为对流散热 和蒸发散热。计算其浴缸中水的散热，即对流散热和蒸发散热项，合起来可以用焓[6]表示，其蒸发系数为b=[22+12.5W2+2(t-θ)]，蒸发水的热量为：dQb=b(p-pv)dF；对流散热为dQa=a(t-θ)dF，其散热曲线如图3所示。

图3 散热曲线

根据热力学定律，由伯温比可知：

(7)

式中：Pa为大气压力，Cp为空气比热，L为水的气化热，化简可得：

(8)

式中：ht为水温t相应的饱和空气焓，hθ为空气焓，即为所求，以焓差为推动力的，包含其对流散热和蒸发散热的浴缸热传递。求得其总散热为Qh=2.03×107J。

根据浴缸中水温散失的原理，结合进出水口的位置以及大小的分析。为浴缸设计自动调温系统，即已知室内温度之后只需按下对应的档位，可实现在沐浴过程中水温的自动控制[7-8]，如图4所示为自动调节水温装置。

图4 自动调节水温装置

由于室内温度一般处于10～30 ℃，即沐浴时外部环境的温度。所以将自动调节系统设置A、B、C、D 4个档位对应的温度为：10～15 ℃、15～20 ℃、20～25 ℃、25～30 ℃。调温系统根据沐浴所处外部环境，计算出单位时间内由于蒸发散热和对流散热所导致的向环境中散发的热量。再利用周围流体算法求解，得到对应多长时间的补水结果，表1所示为根据室温保持浴缸恒温的档位设计。

表1 根据室温保持浴缸恒温的档位设计

2.3 舒适度

根据所建立的模型，设计出了2种浴缸：躺式浴缸和坐式浴缸，分别如图5、图6所示，躺式浴缸是根据成年男性立式尺寸设计，浴缸设计的曲面与人体背部曲线相同，这样人们可以相对舒适地躺在浴缸中，符合人机工程学的原理，并且更加人性化；坐式浴缸根据成年男性坐式尺寸设计，这样的浴缸相对于普通浴缸可以减少散热20%，且可省水25%。

图5 坐式浴缸 图5 躺式浴缸

3 结论

(1)由于人体表面的速度分布来等同于人体水流速度，浴缸出水口的直径为20 mm且位于底部，入水口直径为20 mm分别在前后及两侧的中部位置安装两个入水口，注水时同时进行。

(2)沐浴所处的外部温度决定单位时间内向环境中散发的热量，再利用周围流体算法求解出调温系统补水间隔。

(3)设计出躺式浴缸和坐式2种浴缸。躺式浴缸的曲面与人体背部曲线相同，人们可以相对舒适地躺在浴缸中，使浴缸更加人性化；坐式浴缸采用坐着的方式，这样的浴缸相对于普通浴缸可以减少散热20%，且可省水25%。

[1] 胡志刚,崔红力,管小荣等.有限空间人体周围流场的仿真研究[J].机械设计,2011,(28)05:42-46.

[2] Chih-Long Lin,et al.Cultural ergonomics in interactional and experiential design:Conceptual framework and case study of the Taiwanese twin cup[J].Applied Ergonomics,2016:242-252.

[3] 詹士昌.自然散热情况下牛顿冷却定律适用范围的探讨[J].实验室研究与探索,1994,(02):88-89+93.

[4] 张寅平,朱颖心,江亿.水—空气处理系统全热交换模型和性能分析[J].清华大学学报(自然科学版),1999,(39)10:35-38.

[5] 刘志华,刘瑞金.牛顿冷却定律的冷却规律研究[J].山东理工大学学报(自然科学版),2005,(19)06:23-27.

[6] 赵振国.水面散热的焓差公式及其应用[J].水利学报,2004,(02):34-38.

[7] 詹训进.基于单片机的浴缸恒温控制系统[J].机电工程技术,2008,(07):97-99+140.

[8] 黄晓林.基于STC单片机控制的恒温浴缸的设计[J].工业控制计算机,2012,(07):92-93+97.

Design of Constant Temperature Bathtub Based on Finite Element Method

ZHANG Jing-yi1,YANG Liu-cong2,YAN Shao-hong3,WANG Yu-bo4,ZHAO Jia-min5

(1.College of Economics,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063210,China;2.College of Information Engineering,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063210,China;3.Mathematical Modeling Innovation Lab,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063210,China;4.College of Civil Engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou Henan 450000,China;5.Makerspace,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063210,China)

finite element method; constant temperature bath tub; heat dissipating capacity; optimal design

The degree of human nature of today's social products and the performance of energy saving and environmental protection is an important indicator of sales,while the traditional bathtub in these two areas there are still technical deficiencies.A thermostatic bath design model was presented based on finite element method.The bathtub is not in use the auxiliary heating system,heat insulation and water saving more effectively.The bathtub without the auxiliary heating system is heat insulation and water saving more effectively.Based on ergonomics theory,the bathtub model makes the water temperature constant through the methods of hot water automatical injection then by changing the inlet position,the purpose of water——saving is achieved,and ultimately the design demand of thermostatic bath is realized.Its design can better meet the requirements of energy saving and comfort,and can realize the intelligent machine,with a good reference and practical value.

2095-2716(2017)03-0116-05

2016-11-30

2017-04-17

TS914.254

A