环境激励下脉冲响应函数与相关函数的关系

于亮亮，宋汉文

（同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092）

环境激励下脉冲响应函数与相关函数的关系

于亮亮，宋汉文

（同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092）

单位脉冲响应函数中包含了系统所有的动力特性参数，提取系统的单位脉冲函数或频率响应函数是获取系统动态特性参数、进行系统辨识以及对系统进行健康监测与精确控制的前提。在受环境激励的系统中，由于激励无法直接测量，导致单位脉冲响应函数无法直接获取。在自然激励技术（natural excitation technique）的基础上，基于复模态系统的多输入多输出位移响应，讨论了环境激励下系统单位脉冲响应函数与响应的相关函数之间的关系。基于实模态系统并将质量矩阵进一步假设为对角矩阵，辨识出系统所受环境激励的强度分布。根据辨识的模态参数以及环境激励的强度，由响应的相关函数重构了系统的单位脉冲响应函数。最后通过仿真进一步验证了文中的结论。

振动与波；工况模态分析；环境激励；相关函数；脉冲响应函数

对于结构动力系统，其激励与响应之间的关系是通过系统本身所固有的动力特性——单位脉冲响应函数（impulse response functions，IRF）或频率响应函数（frequency response function，FRF）来体现的，单位脉冲响应函数中包含了系统所有的动力特性参数。提取系统的单位脉冲函数或频率响应函数是获取系统动态特性参数、进行系统辨识以及对系统进行健康监测与精确控制的前提。目前振动工程测试中通常用平均功率谱方法来估计系统的频率响应函数，但是这种方法只适用于激励方式已知的情况[1]，现实中的大型土木工程结构如跨海大桥和海洋平台等所受的环境激励往往难以测得。因此，直接利用工况条件下的响应数据提取模态参数，从理论到工程应用在最近几年都有了长足的发展[2–3]。

以著名学者James为代表的研究人员提出了自然激励技术（natural excitation technique，NExT）[4–7]，该技术指出单输入白噪声激励下系统位移响应的互相关函数含有系统的各阶模态信息，可用于模态参数的时域辨识。这为环境激励下系统模态参数的提取提供了一条新的途径[8–10]。对于多输入情况下系统受环境激励时位移响应互相关函数的数学表达以及模态参数辨识，秦飞、钟军军等进行了研究和探索[11–13]。

这些基于NExT进行的模态参数辨识，均是依据系统受白噪声激励下响应的相关函数与系统的单位脉冲响应函数具有“相似”的数学表达形式这一结论，直接用相关函数代替单位脉冲响应函数，代入到传统实验模态分析方法中，以进行工况模态参数的识别。这种识别方式，只使用了相关函数与单位脉冲响应函数“相似”的部分，丢弃了不“相似”的部分。在NExT基础上，从相关函数与脉冲响应函数之间“不相似”的部分着手，基于复模态系统的多输入多输出位移响应，探讨系统单位脉冲响应函数与受白噪声激励下响应的相关函数之间的关系，进一步，基于实模态离散系统，在质量矩阵为对角矩阵的情况下，辨识了白噪声激励的强度分布，并由相关函数重构了系统的单位脉冲响应函数。最后通过仿真证实了本文的结论。

1 单位脉冲响应函数

N（N≥1）自由度线性定常系统强迫振动方程用矩阵形式表示为[14]

式中[M]，[C]和[K]分别为系统质量，阻尼和刚度矩阵为系统稳态位移响应为作用在系统上的激励。

设系统在k点受到激励为fk(t)，则第i测点的响应为[14]

当式(1)中的f(t)为在t=0处的单位脉冲函数即δ(t)函数时，就得到系统在k点激励i测点响应的单位脉冲响应函数hik(t)

2 响应的相关函数

若激励不只作用在k点，而是在N个激励点上都有，根据线性系统的叠加性，由式(2)可得i测点的响应为[14]

第j测点响应的表达式同式(4)。由相关函数的定义，第i,j测点响应的相关函数可以写为[15]

式中E[]为求期望运算。

当f(t)为高斯白噪声时，假定在不同的激励点上，系统受到高斯白噪声激励互不相关，并利用δ(t)函数的性质进行化简得[14]

Θjr是仅与测点j和第r阶模态有关的参数，与响应点i无关。对比式(6)与式(3)知，响应的相关函数与系统的单位脉冲响应函数有着一致的对应形式，这是使用相关函数进行工况模态参数辨识的理论基础。

3 单位脉冲响应函数与相关函数的关系

系统的单位脉冲响应函数式(3)及响应的相关函数式(6)之间的关系取决于与[Θ]之间的变换关系。

设

则由式(6)及式(8)得

4 实模态响应的相关函数

复模态理论考虑的振动特性具有一般性，而实模态作为复模态的一种特殊情况，其模态振型是直接关于质量矩阵加权正交的，并且每阶振型中各测点运动的相位差为0度或180度，因此式(2)中的模态振型可以写为[16]

由式(2)及式(11)得

[U]是实模态系统受多点激励时由模态振型矩阵[ϕ]到矩阵[Θ]的变换矩阵。

将式(13)代入式(6)得实模态系统受白噪声激励时响应的相关函数

将式(11)及式(12)代入式(3)得实模态系统的脉冲响应函数

对于N自由度实模态离散系统，设质量矩阵是对角的[17–18]，通过质量摄动的方法可以根据OMA算法辨识得系统的质量

由模态振型的加权正交性[14]，得

式中[ϕ]为实模态振型矩阵为模态质量矩阵。

将式(18)代入式(15)，并将[U]及[U*]展开化简得

式中Re[]为求复数的实部运算，

由式(19)可得关于{αk}的N2个方程，这里为由系统所受的白噪声激励的强度组成的向量。等号右边第l行p列的元素与第p行l列元素的比值为

由式(20)知，在每一个特定时间差T=T0时刻，式(19)中等号右边的矩阵关于主对角线对称的两个元素均相差一个系数，即他们组成的方程是等价的。为求解{αk}，在关于的N2个方程中，任取其中的N个方程组成下式

将辨识得的模态参数及式(22)代入式(13)和式(14)即得到白噪声激励时响应的相关函数与系统单位脉冲响应函数之间的变换矩阵[U]，进一步可以由相关函数重构得到单位脉冲响应函数。

5 仿真算例

如图1所示为5自由度系统。

图1 仿真系统

在图1中：

初始给定白噪声激励的强度为

5.1 白噪声激励的强度

这里取式(19)第一行的元素组成线性方程组。由于方程组在时间差T为0 s附近时条件数比较大，故在T从0.05 s～0.4 s的时间段内求{αk}，如图2所示。

图2 T在0.05 s～0.4 s之间变化时激励强度{αk}的辨识值（粗虚线为给定值，细实线为辨识值）

将T在0.05 s～0.4 s内辨识得的值的平均值作为{αk}的辨识值，并与给定值进行比较，相对误差如表1所示。

表1 辨识的与给定的激励强度αk值及其相对误差

由表1及图2知，αk的辨识值与给定值的相对误差非常小。这说明关于白噪声激励强度的辨识理论是有效的。

5.2 脉冲响应函数重构

根据辨识得到的模态参数、白噪声激励强度{αk}和变换矩阵[U]，由相关函数重构得到系统单位脉冲响应函数。不失一般性，将h11(t)展示在图3中。

图3 给定的及重构的单位脉冲响应函数h11(t)

在图3中粗虚线为给定的系统单位脉冲响应函数，细实线为重构的单位脉冲响应函数，0线附近的细点划线为重构的与给定的单位脉冲响应函数之间的误差。粗虚线与细实线吻合得很好，并且误差也非常小，这说明白噪声激励强度{αk}的辨识是正确的，同时单位脉冲响应函数的重构也是准确的，这进一步说明本文提出的方法是合理的。

6 结语

在自然激励技术的基础上，基于复模态系统的多输入多输出位移响应，讨论了环境激励下系统单位脉冲响应函数与响应的相关函数之间的关系。基于实模态离散系统，并将实模态系统的质量矩阵进一步假设为对角矩阵，通过本文建立的方法，成功地辨识出系统受环境激励的强度分布。并根据辨识的模态参数以及白噪声的激励强度，由响应的相关函数构造出系统的单位脉冲响应函数。最后通过仿真进一步验证了文中的结论。文中的方法将NExT扩展到了复模态理论，同时辨识出了激励强度，这为OMA中载荷辨识提供了理论依据；重构出脉冲响应函数，是获取系统动态特性参数、进行系统辨识以及对系统进行健康监测与精确控制的前提。

[1]周鋐，曹阳光，刘浩，等.汽车顶棚约束模态与工作模态分析与比较[J].噪声与振动控制，2016，36(2)：84-87.

[2]BRINCKER R.Some elements of operational modal analysis[J].Shock and Vibration,2014(4)：1-11.

[3]刘志红，仪垂杰，尹志宏.多变量AR建模方法在工作模态参数辨识中的应用[J].噪声与振动控制，2007，27(4)：19-21.

[4]JAMES G H,CARNE T G,VEERS P S.Damping measurements using operational data[J].Journal of Solar Energy Engineering,1996,118(3):190-193.

[5]JAMES III G H,CARNE T G,LAUFFER J P.The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating structures[J].Modal AnalysistheInternationalJournalofAnalyticaland Experimental ModalAnalysis,1995,4(10):260-277.

[6]JAMES III G H,CARNE T G,LAUFFER J P.The natural excitation technique (NExT) for modal parameter extraction from operating wind turbines[J].NASA STI/ Recon Technical Report N,1993,93:28603.

[7]JAMES G H.Extraction of modal parameters from an operating HAWT using the natural excitation technique (NExT)[C].Proceedings of the 13th Energy-Sources Technology Conference and Exhibition(ETCE)on Wind Energy.New Orleans,Louisiana,USA:1994:23-26.

[8]李雷.工况模态分析在时变航天器结构中的应用[D].上海：复旦大学，2011.

[9]CARNE T G,JAMES G H I.The inception of OMA in the development of modal testing technology for wind turbines [J].Mechanical Systems and Signal Processing,2010,24 (5SI):1213-1226.

[10]BROWNJOHN J M W,MAGALHAES F,CAETANO E, et al.Ambient vibration re-testing and operational modal analysis of the Humber Bridge[J].Engineering Structures,2010,32(8):2003-2018.

[11]秦飞，宋汉文，王文亮.基于现代谱估计理论的工况模态分析[J].振动与冲击，2002(4)：74-79.

[12]钟军军，董聪.多自由度系统自然激励技术的统一模型[J].计算力学学报，2013，30(3)：449-454.

[13]钟军军，董聪.单输入多自由度系统自然激励技术的解析格式[J].振动、测试与诊断，2013，33(4)：547-549.

[14]傅志方.振动模态分析与参数辨识[M].北京：机械工业出版社，1990.

[15]韩海明，沈涛虹，宋汉文.工况模态分析的EMD方法[J].振动与冲击，2002，21(4)：71-73.

[16]李德葆，陆秋海.实验模态分析及其应用[M].北京：科学出版社，2001.

[17]BERNAL D,GUNES B.Damage localization in outputonly systems: A flexibility based approach[A]. Proceedings of the 20 th International Modal Analysis Conference[C].Los Angeles,California,USA:2002: 1185-1191.

[18]GUYAN R J.Reduction of stiffness and mass matrices[J]. AIAAJournal,1965,3(2):380.

Discussion on the Relation between Correlation Functions and Impulse Response Functions underAmbient Excitation

YU Liang-liang,SONG Han-wen
(School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Impulse response functions(IRFs)contain all the dynamic characteristics of structures.Extraction of IRFs or frequency response functions(FRF)is the premise for obtaining the dynamic characteristics of the structure,the structure identification,the health monitoring,and the precise control of the structure.However,in some real operation conditions,the excitations cannot be measured and the IRFs cannot be acquired directly.In this paper,the relation between the correlation functions and IRFs is meticulously deduced through natural excitation technique(NExT).Furthermore,considering that the structure is a real-modal system,the intensity of each excitation is identified when the structure is discrete and the mass matrix is diagonal.Using the identified modal parameters and the intensity of the excitations,the IRFs of the structure are reconstructed by correlation functions.A simulation is employed to validate the reliability of the relation derived between the correlation functions and the IRFs.

vibration and wave;operational modal analysis(OMA);ambient excitation;correlation function;impulse response function(IRF)

O321；O327

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.003

1006-1355(2017)03-0014-05+36

2017-02-21

国家自然科学基金资助项目(11272235)

于亮亮（1986－），男，江苏省连云港市人，博士生，主要研究方向为工况模态分析与模态参数辨识。

宋汉文，男，博士生导师。E-mail:hwsong@tongji.edu.cn