让数学实验成为学生思维的生长点

曹彬

数学实验是以学生动手为主的数学学习方式，其目的在于提高学生学习数学的积极性、数学的应用意识和解决问题的能力。对于小学生而言，数学实验可以是实践操作、纸笔演算，也可以是思维实验。数学实验使学生的数学学习方式从“动笔”转化为“动手”，从“学习”转变为“研究”。在数学课堂中应该把学生的动手实验与动脑思考结合起来，让动手实验成为学生思维的生长点，以实验为途径，以思维为核心，让数学实验成为学生思维的生长点。

“图形的密铺”一课在苏教版原教材中被安排在五年级下册认识了圆以后进行学习，但2014版新教材删减了本课时内容。而在2016年出版的《数学实验手册》中被安排在六年级下册图形总复习以后学习，作为对平面图形学习的一个补充。本节课要求学生根据有关平面图形的特点进行观察、操作、思考并进行简单的设计，对于培养学生的思维能力、动手操作能力及审美观念均具有重要意义。

密铺问题不同于传统数学，具有较强的开放性和探索性。因此，笔者注意从六年级学生的知识起点及思维特点出发，简化动手过程，丰富思维活动，在手脑共用的过程中体会动手实践的乐趣，提升数学思维的品质。

一、让动手实验提升学生思维的深刻性

数学是思维的体操，数学思维的深刻性是数学思维品质的基础，它是能够探求所研究问题的实质以及问题之间的本质联系的一种思维形式。当学生在遇到问题时，不仅要会解决，还要能运用类比、归纳、分析、联想的方法进一步地挖掘和探究。数学思维的层次感和探究的深度恰恰验证了学生思维的无极限和螺旋式上升的本质过程。

1.培养学生由表及里、发现问题的能力

在本课中，学生首先通过动手实践，发现等边三角形可以密铺以后，笔者没有着急验证其他图形，而是引导学生思考：“发现了等边三角形可以密铺，你能提出什么问题？”使学生成为一个研究者，在解决了一个问题以后继续深入地进行思考，并能发现问题、提出问题。学生通过思考，想到验证等腰三角形与一般三角形密铺的可能性。因此，当学生在验证了等腰梯形可以密铺后，顺利地想到验证一般梯形。最重要的是，在验证了基本图形以后，继续引导学生思考正方形、长方形、平行四边形、梯形的共同特点：“这些图形都能密铺，你能提出什么问题？”继续通过学生自己提出问题引导他们进一步思考一般四边形的密铺问题，使学生往思维的深处进一步漫溯。

2.培养学生由此及彼、发现问题的能力

数学课程标准在总的课程目标中指出：要学生体会数学知识之间的联系，运用数学的思维方式进行思考。笔者适当调整了教学的重难点，没有将所有的图形都进行动手验证，而是手脑结合，部分图形需要动手验证，部分图形只需要思维实验。比如学生在提出要动手验证普通三角形和梯形的时候，有意给学生设置了障碍，没有准备实验工具，从而使得学生的思维进一步深入，运用三角形、梯形与平行四边形的关系进行验证，使得学生从表面的动手验证，发展为思维推理。

在学生提出一般的四边形能否密铺，并通过动手实验获得成功后，笔者继续引导学生反思，你们是怎样拼的？遵循怎样的规律？为什么有的同学没有成功？通过课件演示，学生发现其中的奥秘，原来只要把任意四边形的四个角拼在一起，就一定能形成密铺。甚至有同学发现了更深层的原因，四边形的内角和是360°。在这一环节中，通过反思，引起学生内心的冲突，从而唤起思维，激发内驱力，使学生展开问题的深层次探索，实现由“学习者”到“研究者”的转变。

二、让动手实验锻炼学生思维的批判性

批判性思维是对思维活动各个环节、各个方面进行的调整校正的自我意识，是对思维过程进行洞察、分析和评估，是一种反思性的思维。我们日常的数学课堂，普遍存在的是接受式的思维规则，而求知的过程不仅仅是被动地接受，必须让思维行动起来，主动出击，勇于质疑。

1.培养学生周到、缜密的思维

五边形的研究是本课的一个重点，也是难点。学生先猜一猜，再动手验证正五边形能否密铺。当发现正五边形无法密铺时，我再次把学习的主动权抛给学生，引导学生提出：“一般的五边形是否都不能密铺？”再由一般的五边形都不能密铺引导学生讨论：“有没有更特殊的五边形能够密铺呢？”既是培养学生提问的能力和勇气，又通过这些学生自主创设的问题情境，让学生不断修正自己的思维，在思维破碎、整合、怀疑、醒悟的过程中，在不断的思维批判中总结出“特殊到一般”“一般到特殊”这样非常重要的思维方法，让学生体会归纳推理和演绎推理的过程。学生在理解从特殊到一般、从一般到特殊的思维方法的同时，也在对自己已有的知识经验不断地批判、反思、总结。这一思维过程在学生数学认知活动中有着重要的意义。

2.培养学生质疑、调整的能力

孟子说过“尽信书不如无书”。如果完全相信已有的结论，就不会产生科学的探究精神。一个问题好像可以画上句号了，但是我们的研究是否还可以更进一步呢？在多个环节，笔者尝试让学生发现疑问，提出问题，在质疑、解决问题的过程中培养思维的批判性。特别是在五边形的探究过程中，当有同学认为所有的五边形肯定都无法密铺时，还有同学在积极地进行调整，指出：“如果把五边形下面的两个角变成直角，五边形就可以密铺了。”这样质疑和调整体现了学生初步的判断力和思考力的生長，是批判性思维发展的直接体现。

思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的，只有深刻地认识，周密地思考，才能全面而准确地做出判断。同时，只有不断自我评判、调节思维过程，才能使主体更深刻地揭示事物的本质和规律。

三、让动手实验促进学生思维的创造性

创造性思维是指在思维活动过程中，通过直觉、猜想、联想、推理等方式探索新问题、发现新规律，是运用新颖独特的方式方法解决问题的一种思维活动。在数学教学中，“创”应该是创设让学生跳出来的问题情境，“造”应该是建构合理的解决问题的方法，培养学生的创新思维。

1.培养学生思维的发散性和变通性

当学生验证到最后的圆形时，思维的直觉性告诉他们圆是无法密铺的。传统的课堂验证到这时候就结束了，但在本课中，笔者顺势引导学生思考，有什么办法能使圆也密铺呢？这是一个在当前的思维环境下无法解决的问题。教师只要略加提示“刚才所有的密铺都只有一种图形，你能想到什么？”学生就能从已有的思维定势跳出来，纷纷想到再增加一种或多种图形就可以密铺。

2.培养学生思维的独创性和反思力

在课堂上，每种图形的动手实验中，每位学生的思维都有其独特性，每种图形能不能密铺，学生铺出来的图案都各具特色。在本节课的最后，笔者要求学生利用刚才实验的多种图形，精心设计、合理布置，创造出组合式的密铺图案。为了尽可能多地展现学生的思维成果，笔者还使用无线传输功能，用手机拍摄的方法将学生自己创造的富有个性的图案展现在大家面前。这样的展示既为学生提供了感知、比较的丰富素材，进一步体会图形密铺的含义，反思每种图案的特点，又是对学生富有创造性的思维成果的尊重。

总体而言，本节课中，学生在动手实验的同时表现得更愿意动脑想、更敢于大胆地发表自己的意见，可见实验活动增强了他们的自信心、自主性。学生在问题情境下思考，在动手操作中观察，在思维活动中比较、质疑、论证。在实验与思维的交融中，学生的思维品质才能够最大程度地生长。[责任编辑：陈国庆]