浅谈复变函数中积分的计算方法

焦晶晶

【摘要】掌握复积分的计算方法对于学好复变函数至关重要.本文主要探究了复变函数的计算方法.尽管它的计算方法过程已有发表，但在此重述的目標只是为了更加系统，更便于计算，通过了解这些常见的积分计算方法，把它们进行整理、归类，并以典型的例题加以说明，可以使我们在计算复变函数积分的过程中更加得心应手.

【关键词】复变函数；积分计算；柯西积分定理；留数定理

一、引言

复变函数以其完美的理论成为数学的一个重要分支，是其他学科解决实际问题的强有力的工具.解析函数是复变函数研究的主要对象.复变函数的积分是研究函数的一个重要工具.复变函数积分的求解问题向来被认为是复变函数教学中重点和难点问题.

复变函数积分常见的几种计算方法：

①将积分曲线C分成为n小段时，可用定义直接计算复积分（不常用）；

②当f（z）在简单光滑曲线C上连续时，欲计算积分时常用参数方程法，参数方程是计算复积分的基本方法；

③如果被积函数f（z）在包含积分曲线C的某一单连通域D内处处解析，则可用牛顿-莱布尼兹公式进行计算；

④涉及围线积分，想到利用Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、留数定理，其中留数定理应用最广；

⑤高阶导数公式可以形式地由反复用Cauchy积分公式求关于参数z0的导数得到，故有时被称为微分Cauchy积分公式.

本文主要在理论上介绍复积分中Cauchy积分定理及由它派生出的Cauchy公式、留数定理及积分的计算问题.

二、柯西（Cauchy）积分定理

六、结束语

本文利用综述法、比类法，以有限的篇幅介绍了复变函数积分计算的几种一般方法，它对数学分析知识的理解和提高，以及应用新知识解决复杂问题的能力，起到抛砖引玉的作用，进而能更加深刻地体会数学这门科学不同于其他学科的魅力.