多元求积公式在布朗片测度下的平均误差

董彦琦，许贵桥

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)

多元求积公式在布朗片测度下的平均误差

董彦琦，许贵桥

(天津师范大学数学科学学院，天津 300387)

讨论了基于Chebyshev节点的多元Lagrange求积公式在布朗片测度下的平均误差，得到了相应量的强渐近阶.在多元情形下，构造性地建立了平均框架下有关数值求积公式的误差分析，提出的算法更加简单适用，且具有一定的收敛速度.

Chebyshev节点；布朗片测度；平均误差；多元求积公式

1 预备知识

信息基复杂度是目前函数逼近论研究的热点问题之一，其核心是研究信息基算子的构造和误差.信息基算子是指利用目标函数的若干个已知信息(主要是函数在某些点的值，称为标准信息)来构造问题的近似解.但在误差估计中，由于目标函数除已知的若干个信息之外，其他信息均不明确，只能对目标函数作某些假设，然后根据此假设来探讨算法的误差.在平均框架下，假设目标函数为一个函数概率空间，算法的误差为空间的个体元素逼近误差的期望值.下面引入算法的平均误差[1]定义.

假设F是定义在一个函数类上的线性赋范空间，G是一个范数为‖·‖的Banach空间，μ是定义在F的Borel子集上的概率测度.称：F到G的可测映射S为解算子；F到Rn的一个可测映射N为信息算子；Rn到G的一个可测映射φ为算法.信息基算子逼近φ∘N相应于测度μ的平均误差定义为

(1)

数值问题的平均误差分析起始于Suldin[2-3]，之后许多学者进行了大量研究，有关一元函数和多元函数的结果可见文献[4-5].注意到多元积分逼近研究所用的方法大多是非确定性的，本文将利用基于第一类切比雪夫多项式零点的拉格朗日求积公式给出相应的多元张量积求积公式，并在布朗片测度下计算其平均误差.

(2)

做基于T1，n的d元张量积求积公式，即对任意f∈C([-1，1]d)，

(3)

下面给出多维布朗片测度的概念.对F1={f∈C[-1，1]|f(-1)=0}赋予上确界范数，则(F1，‖·‖C)成为一个可分的Banach空间.把(F1，‖·‖C)上的Borel集记为B(F1)，B(F1)上的Wiener测度记为ω，由文献[7]可知ω的协方差核为

记Fd为F1的d重张量积空间，由文献[8]知Fd上的d维布朗片测度ρd的协方差核为：对任意x=(x1，…，xd)及y=(y1，…，yd)，有

(4)

2 主要结论及其证明

定理1 假设Sd(f)和Td，n(f)分别由(2)和(3)式定义，则

证明 由(1)―(3)式可知

(5)

其中

下面分别计算I1，I2，I3.对于I1，由Fubini定理及(4)式可得

(6)

(7)

由sinx=Im(eix)，cosx=Re(eix)及等比数列求和公式得

(9)

(10)

(11)

由(7)—(11)式可得

(12)

对于I3，由(4)式可得

(13)

简单计算得

(14)

而由cosx=Re(eix)及等比数列求和公式得

(15)

由(13)—(15)式可得

(16)

由

可检验得

(17)

(18)

由(5)，(6)，(12)，(16)—(18)式可得

(19)

定理证毕.

注1 目前计算多元积分的常用方法是蒙特卡洛算法和平移格算法.同这些算法相比，本文的算法为一种确定性算法，计算过程简单，而且有一定的收敛速度.特别地，当d=1时，由文献[4]知本文的算法达到了最优逼近速度n-1.

[1] TRAUB J F，WASILKOWSKI G W，WOZNIAKOWSKI H.Information-based complexity[M].New York：Academic Press，1988：1142-1143.

[2] SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods[J].Izv Vyssh Ucheb Zaved Mat，1959，13：145-158.

[3] SULDIN A V.Wiener measure and its applications to approximation methods[J].Izv Vyss Ucheb Zaved Mat，1960，18：165-179.

[4] KLAUS R.Average-case analysis of numerical problems[M].New York：Spring-Verlag，2000：11-225.

[5] NOVAK E，WOZNIAKOWSKI H.Tractability of multivariate problems：standard information for operator[M].Zurich：EMS，2012：99-558.

[6] RAINER K.Numerical Analysis[M].New York：Springer-Verlag，2003：72-238.

[7] XU G Q.The average errors for Lagrange interpolation on the Wiener space[J].Acta Math Sinica，2012，28：1581-1596.

[8] LIFSHITS M A.Lectures on Gaussian processes[M].New York：Springer，2012：18-117.

(责任编辑：李亚军)

The average error of multivariate quadrature formulae on the Brownian sheet measure

DONG Yan-qi，XU Gui-qiao

(College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China)

The average errors of multivariate tensor product quadrature formulae based on the Chebyshev nodes on the Brownian sheet measure are studied and the corresponding stronger asymptotic order is obtained.In the past，the average error analysis of multivariate quadrature formula is non-constructive.But the algorithm of this paper is constructive，which is simpler and more applicable.At the same time，this algorithm has a certain convergence rate.

Chebyshev nodes；Brownian sheet measure；average error；multivariate quadrature formulae

1000-1832(2017)02-0030-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.007

2015-12-12

国家自然科学基金资助项目(11471043).

董彦琦(1993—)，女，硕士，主要从事函数逼近论研究；通信作者：许贵桥(1963—)，男，教授，主要从事函数逼近论研究.

O 174.41 [学科代码] 110·4140

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