时间分数阶KdV方程的级数解

高忆先，李金玉，徐 飞

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

时间分数阶KdV方程的级数解

高忆先，李金玉，徐 飞

(东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

主要考虑Riemann-Liouville积分和Caputo导数意义下的分数阶KdV方程初值问题，通过一类迭代法构造分数阶KdV 方程在实数域上的级数解，并将这类迭代法推广到复空间上，建立了分数阶KdV方程在复数域上的级数解.这类迭代法只依赖于初值的选取，对于非线性分数阶偏微分方程，甚至是耦合系统，都能有效地建立级数解.

时间分数阶KdV方程；Riemann-Liouville积分；Caputo导数；迭代法；级数解

0 引言

1895年，荷兰数学家 Korteweg和de Vries在研究浅水中小振幅长波运动时共同发现了一种单向运动浅水波偏微分方程

(1)

这就是历史上经典的Korteweg-de Vries方程，简称KdV方程.[1]近年来由于在电磁学、光学、弹性力学、电子化学、材料科学等领域有很多现象均由分数阶微分方程描述，因此寻找分数阶微分方程的数值解和近似解成为了众多学者的研究目标.[2-3]虽然关于经典的KdV方程目前已经有了大量的、有意义的成果，但对于非线性分数阶KdV方程的研究目前还处于起步阶段，已有方法主要有区域分解法[4]、同伦摄动法[5]、变分迭代法[6]等.

本文主要针对给定初值的时间分数阶KdV方程，利用迭代法建立了在实空间内分数阶KdV方程的级数解.在此基础上首次考虑了复数域上的时间分数阶复KdV方程，通过分解的方法将分数阶复微分方程等价地转化成实数域上相应的耦合系统，然后利用迭代法建立了分数阶KdV方程在复数域上的级数解.

1 预备知识

由上述定义可以得到以下性质：

2 迭代法

定理1 考虑非线性泛函方程

u(x，t)=f(x，t)+L(u(x，t))+N(u(x，t))，

(2)

其中f(x，t)是已知函数，L和N分别是定义在Banach空间B上的线性算子和非线性算子.假设方程(2)的解关于t是解析的，且算子L和N是压缩的，那么方程(2)的解可以表示为

其中

u0=f，u1=L(u0)+N(u0)，

um+1=L(um)+(N(u0+u1+…+um)-N(u0+u1+…+um-1))，m=1，2，….

证明 由假设可知方程的解可进行如下分解：

由于算子L是线性的，所以有

关于非线性算子N做如下分解：

从而方程(2)等价于

进一步得到

定义算子M：

M(u(x，t))=L(u(x，t))+N(u(x，t)).

定义迭代过程：

u0=f，u1=M(u0)，

由于算子L和N是压缩的，则M也是压缩的，再根据文献[7]中定理7，存在常数0

‖M(vi)-M(vj)‖≤c‖vi-vj‖，

其中‖·‖定义为Banach空间的范数.进一步有

3 时间分数阶KdV方程初值问题的级数解

这里利用定理1的迭代法，分别给出时间分数阶实KdV方程与复KdV方程的级数解.

3.1 时间分数阶实KdV方程

考虑满足一定初值条件的R上的时间分数阶KdV方程

(3)

其中0<α≤1，u(x，t)∈R，(x，t)∈R×R.

假设u(x，t)关于t是解析的，那么u(x，t)可以表示为

1）_____Do all the risks have possible negative results?

再由初值

u0=ex，

从而由定理1迭代法有

进一步有

依次进行下去可得

所以方程(3)的级数解为

3.2 分数阶复KdV方程

考虑时间分数阶复KdV方程

(4)

其中0<α≤1，u(x，t)∈R，(x，t)∈R×R.

由于u是复函数，那么u可以写成复数的一般形式

u=v1+iv2，

其中v1=v1(x，t)，v2=v2(x，t)分别表示复数u的实部和虚部.

假设v1(x，t)和v2(x，t)关于t是解析的，那么v1(x，t)和v2(x，t)可改写为

从而方程(4)等价于下面带有初值条件的耦合方程组：

(5)

再由初值

从而根据定理1迭代法有

f1(x，t)=ex，f2(x，t)=ex，

进一步有

依此进行下去，有

从而得到

u0=ex+iex，

所以方程(4)的级数解为

(6)

4 结论

本文通过迭代法构造了分数阶实(复)KdV方程初值问题的级数解，通过构造过程可以表明迭代法可以有效地构造分数阶偏微分方程(组)初值问题的级数解.

[1] 谷超豪，李大潜，沈玮熙.应用偏微分方程[M].高等教育出版社，2014：38-186.

[2] MILLER K S，ROSS B.An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations [M].New York：Wiley，1993：8-146.

[3] CAPUTO M.Linear models of dissipation whoseQis almost frequency independent：Ⅱ [J].J Roy Astr Soc，1967，13：529-539.

[4] MOMANI S.An explicit and numerical solutions of the fractional KdV equation [J].Math Comput Simulation，2005，70(2)：110-118.

[5] WANG Q.Homotopy perturbation method for fractional KdV equation [J].Appl Math Comput，2007，190(2)：1795-1802.

[6] MOMANI S，ODIBAT Z，ALAWNEH A.Variational iteration method for solving the space-time-fractional KdV equation [J].Numer Methods Partial Differential Equations，2008，24(1)：262-271.

[7] XU F，GAO Y X，ZHANG W P.Construction of analytic solution for time-fractional boussinesq equation using iterative method [J/OL].Adv Math Phys，2015[2015-12-10].http：//dx.doi.org/10.1155/2015/506140.

(责任编辑：李亚军)

Series solutions of the time fractional KdV equations

GAO Yi-xian，LI Jin-yu，XU Fei

(School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

The construction of series solution to the KdV equations in the sense of Riemann-Liouville integral and Caputo derivative is considered.For given initial value，by an iterative method，it can be successfully obtained the approximate series solutions of the real and complex KdV equations.By the construction process，it shows the iteration is an efficient method，which can be used to other fractional differential equations and even coupled systems.

time fractional KdV equation；Riemann-Liouville integral；Caputo derivative；iterative method；series solution

1000-1832(2017)02-0001-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.02.001

2015-12-10

国家自然科学基金资助项目(11471067)；吉林省科技发展计划资助项目(20160520094JH).

高忆先(1981—)，男，博士，副教授，主要从事动力系统研究.

O 193 [学科代码] 110·51

A