萨切里四边形与非欧几何

张晓林+谢俊峰

幾何学是数学科学中历史最悠久，也是最成熟的一个分支.18世纪以前，欧几里得的欧氏几何一统天下，我们现在初中所学习的几何也属于欧氏几何的范畴.但到了19世纪，非欧几何的发现对几何学产生了深远的影响.本文从欧几里得的《几何原本》说起，与大家谈谈萨切里四边形与非欧几何的联系.

大家都知道，欧几里得（公元前约325～270）是古希腊一位著名的几何学家.他将前人积累的丰富资料以及自己的发现，进行系统而严密的整理，给出了几何系统的第一个逻辑结构，写下了人类历史上的光辉巨著——《几何原本》.《几何原本》是欧氏几何的基础，欧几里得先给出了关于点、直线、圆等概念的定义，然后列出了5条公理与5条公设（《几何原本》中有“公理”与“公设”之分，近代数学对此不再区分，都称“公理”）.这本著作里的命题都是依据这些定义、公理和公设，用形式逻辑的方法推演出来的，其系统性与严谨性令人惊叹.这里给出了5个公设：

1.任何两点之间可以画一条直线；

2.有限的直线可以无限地延长；

3.以任何已知点为圆心，以任何长为半径，总可以作出一个圆；

4.所有的直角都相等；

5.如果一个平面上的两条直线与另一条直线相交，并且如果同侧内角的和小于两直角，则如果充分地延长这两条直线，它们必将在内角和小于两直角的一侧相交.如图，如果α+β<180°，则直线l1和l2必将在直线l3的右侧某一点相交.

前4个公设很容易陈述，而且的确是不证自明的.第五公设就不同了，它的叙述非常繁琐，并且不那么明了，似乎超出了直接的体验.因此，自从《几何原本》问世之后，人们就开始了对第五公设的争议与研究.许多数学家都曾尝试通过其他的公设和公理对第五公设予以证明，以消除对它的可靠性的怀疑，虽然都以失败告终，但这些研究却加深了人们对第五公设的认识，得出了许多与第五公设等价的命题，例如：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行.这种说法看上去简单些，但本质上与第五公设没有任何差别.

随着用直接方法验证的失败，数学家们转向间接方法，就是先否定第五公设，然后试图导出矛盾.

18世纪初叶，意大利数学家萨切里（1667～1733）曾利用一个奇特的四边形试图用归谬法证明第五公设.这个奇特的四边形ABCD是个等腰双直角四边形，即AB=CD，∠B=∠C=90°，BC为下底边，AD为上底边，AB和CD为腰，∠A、∠D为顶角，这个平面上的简单的四边形被称为萨切里四边形，如下图.

在不使用欧几里得第五公设的条件下，很容易能证明∠A=∠D，但这两个顶角的大小却无法判定，于是，萨切里提出了三种假设：

1.（直角假设）∠A和∠D都是直角；

2.（钝角假设）∠A和∠D都是钝角；

3.（锐角假设）∠A和∠D都是锐角.

萨切里当时的思路是证明在这三种假设下，只有直角假设才是正确的，而承认其他两种假设将会导致矛盾.

在直角假设下，萨切里证明了第五公设成立，反之，在第五公设成立的条件下，显然有∠A和∠D都是直角.因此，欧几里得的第五公设等价于萨切里四边形中的直角假设.在钝角假设下，萨切里导出了矛盾.而对于锐角假设，他证明得到了许多有趣的命题，如三角形内角之和小于平角，过线外一点可以作很多条直线与已知直线平行……但并没有明确地导出矛盾.尽管得到了许多有趣的命题，但萨切里认为这些命题如此奇怪，无法令人接受.于是，他断言欧几里得第五公设是成立的，并于1733年发表了名著《欧几里得无懈可击》.就这样，萨切里走到了非欧几何这个伟大发现的门前却止步了.

不过，很快就有人指出，萨切里在锐角假设下所导出的命题只是与人们的观念和经验相矛盾，而没有逻辑上的矛盾. 实际上，当承认锐角假设时，由此推出的一系列几何事实，就是罗巴切夫斯基几何的内容.1829年罗巴切夫斯基的《几何学原理》第一次公开发表了，1855年，他的最后一本著作《泛几何学》对非欧几何给出了全新的说明.

此外，当承认钝角假设时，由此推出的一系列几何事实，实际上是黎曼几何的内容.1854年，黎曼提出了一种全新的非欧几何的思想，黎曼几何.

这就是人们现在所称的两种非欧几何，通常它们的名称是罗巴切夫斯基（或双曲）几何和黎曼（或椭圆）几何.

尽管如此，萨切里的三种假设还是有功绩的，他的方法与思路给了人们很多启示.所以，人们还是认为萨切里为非欧几何的开山祖师之一.

（作者单位：江苏省扬州市田家炳实验中学）