一课研究明确“比”的定义 突出本质教学

吴春敏

【摘 要】人教社实验版与修订版教材对“比”的定义表述不同，但强调的都是“两个数相除”的属性，在修订版的数参中，突出了“比”是一种关系这一本质。教学中，要让学生深究从“量比”到“关系”蕴含的概念内涵；继而在“比定义”揭示与教学方式和学习方式联系中，明确比的本质属性。

【关键词】倍比关系 除法运算 量比

“比”是小学数学教学的重要内容。人教社实验版和修订版教材给出了不同的比的定义，本文试图对人教版“比”的内容进行对比分析并给出教学建议。

一、课时安排，自立门户凸显个性

在我国，自1963年起将“比和比例”内容下放到小学教材中以来，“比的认识”这一内容在单元教学编排中一直处于不停的摇摆中。从1963年至1995年，人教版教材将“比和比例”合二为一单元，放在小学阶段最后一册进行教学。1996年开始，编者又将“比”内容与“比例”分离开来，提早一学期，编入第9册（或六上）的“分数除法”单元中。直至2012版修订稿教材，虽然时间安排依旧在六上，但内容编排已经脱离了“分数除法”单元，自立门户，单独设立一个单元为“比的认识”。这样的改变意欲何为？查阅《义务教育课程标准实验教科书数学六上教师教学用书》（以下简称实验版教师用书）发现，“比”与分数有密切联系，把“比”的最基础知识提前安排在分数除法单元中教学，有利于加强知识间的内在联系，为以后学习比例知识打好基础。然而随着课改的深入，对于“比”概念本质属性的深入研究及思考，学者们发现：“比”不应只是从“两个数相除”的运算角度理解，而更应突出其量与量之间的关系。因此在《义务教育教科书教师教学用书》（以下简称修订版教师用书）中，明确提出：将“比”作为独立单元存在，有以下三种优点。一是学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，有助于培养学生的代数思想；二是“比”的书写格式区别于除法形式，更强调量与量之间的倍比关系的直接描述；三是实际运用中有时不需关注具体比值是多少，亦可同时表示两个、三个乃至更多量之间的倍比关系。

由此可见，实验版教师用书对于“比”的界定，更倾向于“比”是两个数相除，比是除法的一种延伸，比是一种运算。而修订版教师用书不再仅将“比”的认识停留在运算角度，而是从其本质入手即“比表示量与量之间的关系”，这里的量可以是两个量或多个量，这种关系是用除法算式表示的倍数关系，它直接描述量之间的关系本身，无须过多强调比值这一结果。由此可见，修订版教材的教学意图逐步走向概念本质的属性，走进定义内涵的深入。

二、教学内容，强调关系凸显“量比”

1.情境导入部分。实验版教材和修订版教材采用同一主题图，给出两面长方形小旗的数据，研究长与宽的关系。但同样的教学内容在教师用书的编写意图中却有所不同。

[实验版

教师用书 引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比 修订版

教师用书 引导讨论长与宽的关系，得到大小比较关系、差比关系、倍比关系等。直接指出用比表示倍数关系，引出同类量的比 ]

从上述表格对比中，我们不难发现，两者的编写意图有所不同：实验版直奔主题强调“倍数关系可用除法表示，突显比与分数除法的连接性；而修订版则侧重两个量之间的各种关系，突出量与量之间大小、差比、倍比的关系，在此基础上指出比表示倍数关系，更为关注概念和属性，丰富比的内涵。

2.“异类量比”教学部分。两个版本教材均介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的速度，得到异类量的比。对比两个版本教师用书中的编写意图，两者之间又存在细微差别：实验版让学生用“除法”表示速度，引出异类量比；而修订版则直接指出可以用比来表示路程和时间的关系。前者强调衍生量“速度”的求法形式，后者强调衍生量“速度”的来源关系，突出比是除法关系的另一种表示方式，这一表示方式在不同的量与量之间会衍生出新的量，这个新的量是原有量与量之间倍比关系的一种体现。

三、教学方式，强调体验积累经验

尽管新课改和深化课改都强调了“学生的主体学习”理念和“自主探索，引导发现”的学习方式，但从两个版本编写意图的“关键词汇描述”中，不难发现实验版和修订版对于教学方式的侧重点各有差异。

1.同類量比的教学。实验版由倍数关系“引出”同类量的比，修订版则在量与量之间各种关系的基础上“直接指出”比表示倍数关系。看似两者都将比和倍数关系进行推理等同，实则在教学策略上有所侧重，修订版更强调学生的直观体验和经验的积累，强调在情境中学习的同时对于概念的探索重视对比教学，在类比和推导中经历比与倍比两者之间的联系。

2.异类量比的教学。由于生活现实中存在异类量比，单讲同类量比不利于实际应用与进一步学习，因此人教版教材从1981年开始，增加了“异类量比”的教学内容，并扩大了比的概念“两个数相除又叫作两个数的比”，此后30多年来一直选用“路程和时间”的比作为异类量比的素材进行教学。尽管“路程、时间和速度”的数量关系式学生在三年级就接触过，且运用非常广泛，但其作为“异类量比”的典型代表，学生的理解有偏差。笔者曾对此做过一次实证调查，详见以下表格。

实证数据证实，半数以上学生认为“单位不同的两个量不能比”。实验版用除法表示速度“引出”非同类量比，修订版“直接指出”还可用比表示路程和时间的关系。对比两者的关键词，进一步发现：“引出”既引导学生进行思辨、交流，得出异类量的比，而“直接指出”则更强化约定俗称的一种存在就是合理的现状。由此可见，修订版弱化了新课改前期轰轰烈烈的“自主探究，引导发现”教学方式，而是采用“直接给出”的教学策略，让学生了解具有实际意义的两个异类量比较，也可以用“比”来表示，突破了比只作为同类量“倍数关系”的狭义定义，让定义外延更加宽阔，使学生进一步认识比的意义以及比和除法的关系。

3.定义的揭示。实验版侧重学生个体的“概括”，而修订版则强调学生多种感官参与的体验和“直接抽象”。概括是形成概念的一种思维过程和方法；抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，舍弃其非本质的特征。要抽象，就必须进行比较，没有比较就无法找到在本质上共同的部分，由此对于素材内容的直观体验和对比分析更为突出。尽管两者有联系，没有抽象就不能进行概括，但两者在行为执行力上，在程度上都是有所不同的。可见，对于定义的揭示，实验版和修订版教材尽管教学内容相同，然而由于单元编排的不同、编写意图的不同、教学方式的不同，学生的学习方式会发生变化，学生对于定义的经历和体验、定义的推导都会有所变化。

（浙江省温州市瓯海艺术实验小学 325000）