动态问题中存在性问题的解法攻略

张福宽

摘要：新课程标准对中学数学学生解决问题的要求越来越高，而要正确解决这些问题，就要求学生对知识有一个系统的总结与概括，并理解与学会正确运用。

关键词：动态；中学数学；存在性问题；解题技巧

一直以来，数学的动态问题都以中考的压轴题形式出现，而这些动态问题解决与否就成为中考数学成绩能不能提高的关键。

从教多年，本人对动态问题有一定的了解，也总结出一些自己的解决方法。动态问题中的灵魂是数形结合，而数形结合的载体是图形变化，精髓是函数，最终结果是方程。很多学生在解题过程中对直接计算没有多大的问题，但完成第一、第二问后，遇到存在性问题时就没有思路了，只能是听得懂老师的讲解，而到自己解题时还是一头雾水，没有思路。其实存在性问题的分析是有规律、有步骤的，掌握了规律和步骤后，再分析问题时就会有明确的方向性，下面我就把这五个步骤详细说明一下：

一、转换特性为已知

也就是把要求证的特.『生当作一个已知条件。一般情况下老师在讲题时学生是体会不到这个步骤的。

二、试画模拟图形

这是一个很关键的步骤，也就是说将（一）中的特.『生存在的图形的大致位置、形状画出来，在画图时一定要力求精确，因为我们的分析思路就是在图的指引下形成的。当遇到画不出图时怎么办呢？那就需要从动的起点开始，一点一点地按照题干中动的要求并进，当遇到特殊点（性质发生变化的点）时要特别注意特性是否发生了变化。还有就是画着画着就画不下去了，这时就需要回到你能准确把握的临界点处，再继续向前探究。

三、确定一个与线段有关的等量关系

第三步是解决问题的核心步骤，也是一个连续的推理过程，题中要求存在的特性可以千差万别，如t为何值时三角形是等腰三角形，求一个角与另一个角相等，两个三角形相似等很多种问法，但是不管题中如何提问，我们都要有一个方向，就是把这种关系转换成和线段有关的等量关系，例如，在处理坐标系两条动线段相等时，我们通常是以这两条动线段为斜边，构成直角边横平竖直的直角三角形，然后再证两个直角三角形全等，从而得出两个三角形中横直角边相等或竖直角边相等，也就是说，通过全等的运用，把一对线段相等的问题转换成另一对线段的相等。这对相等的线段也就是一个等量关系。这种方法可以解决：平行四边形的存在性问题，等腰梯形的存在性问题等有关线段相等的问题。提到线段相等的问题，最有代表性的就是等腰三角形的问题了，归纳一下等腰三角形问题的解法有两种：（1）按解题方式可分为几何方法和代数方法；（2）按动点个数可分为一个动点、两个动点、三个动点。

下面我以动点个数为例说明一下解题方法：

1.当构成三角形的顶点中只有一个动点时（设定点分别为A、B）：这时我们先做“两圆一中垂”，也就是分别以两定点为圆心，以两定点确定的线段长为半径作圆，再做这条定线段的垂直平分线，这样就把一个坐标平面内所有与这两定点所组成等腰三角形的点动画出来了，其中以A为圆心的圆上的任意一点c（除B处）与AB连接时都能成为以A为顶角顶点的等腰三角形，以B为圆心的圆同A，在AB垂直平分线上的点（除AB中点处）的每一个点与A、B连结都能形成以AB为底的等腰三角形，在等量关系获得过程中，代数方法、几何方法并用，其中代数方法要求各顶点坐标必须能够准确应用同一个变量和数字表示，再利用两点间的距离公式分别表示出各边长度，两两相等，列出三个方程，依次解出即可。当顶点不能用同字母表示或表示出现根号时，就不能计算，这时我们就用几何方法，由这对相等的边开始推理，进而得到一对新的相等线段作为等量关系，最常见的就是“三线合一”的应用，在这里不做详细叙述。

2.当构成三角形的三个顶点中出现两点按某种规律运动、一个点固定的情况时，多数情况是应用几何方法解决，也就是认真画图，推导新的等量关系式构造全等的直角三角形法。

3.当构成三角形的三个顶点都在运动时，这时多数情况下是用代数方法来解决。

在实际解题中，根据问法也有几个大的分类。如（1）等腰三角形问题；（2）相似问题；（3）垂直或直角三角形问题；（4）平行四边形问题；（5）梯形问题；（6）几何方法求最短问题；（7）面积的比例问题；（8）所属问题；（9）轴对称问题；（10）几何计算问题等。

四、代入解方程

也就是（三）中得到的等量关系中的各个量，用题中所给的数字、字母或自己设的字母表示出来，这样我们就得到一个方程。

五、解之并检验

对上一步得到的方程进行解方程，在正确解出根之后，还要对所得的解进行检验，一般分为四种情况：（1）方程根本无解，說明假设存在的特性不存在。（2）有解，但与题干中的限制条件或自己分段的区间值矛盾，说明假设不存在，要舍去。（3）有解，但与生活实际矛盾，例如，求出的时间变量为负值，也说明假设不存在，要舍去。（4）有解，且适合所有限制条件，即得到所求的值。

以上就是存在性问题的五步分析法，如果需要概括一下的话，也就是说困扰学生多年的存在性问题的解法实际就是列一个与线段长度有关的方程，通过方程来证实某种特殊情况不存在，存在的话，变量值是多少。

以上为个人从教多年的一点心得，希望能给广大学生一点儿帮助，也欢迎各位同行批评指正。