浅谈中算的三次高峰及代表成就

郭鹏

上海電机学院 数理教学部

【摘 要】本文主要探讨了中国算学史上发展的三次高峰，秦汉时期，南北朝时期以及宋元时期，尤其探讨了每个高峰期对应的代表性的数学家及数学成就，这充分的反应了中国过去两千多年数学的发展历程。

【关键词】中算；筹算；高峰；；秦汉；南北朝

现在关于世界数学研究的书籍有很多[1][2][3]，中国数学的发展迄今为止已有几千年的历史，从现有的考古发现中，在殷墟出土的甲骨文中已有数字的出现，但是真正标志着中算体系的形成则是在秦汉时期，这是中算发展史上的一大里程碑，在随后的的南北朝时期中算得到了进一步的发展，形成了第二个高峰[3]，宋元时期则是中国古代数学的巅峰期，这一时期涌现出了不少世界性的成果及代表性人物，随后的明清时期则是一直呈现出衰落的迹象，本文重点探讨中国古代数学发展的三次高峰及对应时期的代表性人物及成就。

秦汉时期，中国的算术系统，出现了一种简单地工具——算筹，这种计算手段延续了很长一段时间，一直到唐朝，专司计算的人，名曰“筹人”。中国人已经开始在竹简上记录和书写，很多与数学相关的文献也都记录在了竹简上，如，已经出土的《算术书》《九九口诀》等等，都反映了这一时期的数学成就。这一时期最明显的特征还有数学上十进制的计数系统与算筹的结合，为了方便计算，中国古人规定，用纵横两种摆放的方法来计数，故筹算又名纵横术，纵表示法用于个位、百位、万位数字，横表示法用于表示十位、千位、数字，遇到零则空出一位。

《周髀算经》是中国历史上比较早的数学著作，成书时间上来讲是中国“算经十书”最早的一本，这本著作中记录了勾股定理，及其一般形式，并且还有古人如何用勾股定理来计算的应用。而稍晚成书的《九章算术》则是这一时期中国数学高峰的代表性著作，《九章算术》全书分为九章，分别是：方田（分数运算和求面积法），粟米（粮食交易），衰分（分配比例），少广（开平方和开立方法），商功（求体积法），均输（粮食运输均匀负担的计算方法），盈不足（盈亏类问题），方程（一次方程组解法），勾股（勾股定理及其应用）。这本书中共计收录了246题，每道题目都有问有答以及解答的方法。最为关键的其所研究的问题都与生产生活密切相关这也体现出了中国算学的特征——重视数学的应用性。《九章算术》的诞生标志着中国古代算学体系的形成，这本书是中国古代数学书籍第一本具有世界性影响的巨著，迄今为止已被翻译成几十种文字。这部巨著后来还流传到朝鲜、日本等国，并被作为数学的教科书使用了几个世纪。

中算发展的第二个高峰，当属魏晋南北朝时期。魏晋时期中国的数学理论得到了极大地发展，其中，赵爽与刘徽两位大家的工作，标志着那一时期中国数学理论体系的开端。赵爽本人是中国比较早的用严格的数学方法证明勾股定理的数学家，他所用的弦图方法，现在已广为流传，并在《勾股圆方图注》一文中做了详尽的注释。与赵爽同时代的另一位数学大家是刘徽，现在刘徽最广为人知的地方是他首先提出了求圆周率的正确方法，他系统的阐述了割圆术的思想，利用圆的内接多边形近似圆的面积，进而求出圆周率，刘徽给出了3.1416这个圆周率的近似值，而这个值也被称为“徽率”。刘徽的另一个巨大的贡献就是给《九章算术》做了一本注释，即为《九章算术注》，刘徽不仅将《九章算术》中的公式和定理进行解释和推导，并且系统的阐述了中国传统的数学理论体系。

南北朝时期是中国古代数学的重要阶段，这一时期比较有代表性的数学家当属祖冲之、祖暅父子，祖冲之在研究了前人，尤其是研究了刘徽的著作后，他找到了计算圆周率的正确道路，并沿着这条路一直走下去，直至求出圆周率小数点后面的七位有效数字，这在当时来说是一个世界级的数学成就，欧洲数学家直到十六世纪才由荷兰人安托尼兹给出同样的结果，祖冲之给出了圆周率的两个近似值，疏率：22/7与密率：355/113，而祖冲之因为在圆周率计算上的突出贡献，也被世人所推崇，月球上的月形山以及一个小行星都以祖冲之的名字命名。祖暅在刘徽的工作基础上正确的推导出了球的体积公式，并且在历史上首次提出了以他名字命名的“祖暅原理”——“缘幂势既同则积不容异”，即相同高度的截面积相同那么这两个立体的体积相同。这个原理直到十七世纪才有意大利数学家卡瓦列里给出。

在南北朝时期除了祖冲之与祖暅之外，还有很多数学著作也诞生在这一时期，如《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》，这些数学著作中的“物不知数”问题，及“百钱买百鸡”问题都是历史上非常有趣的数学问题，而“物不知数”问题更被认为是中国古代数学在一次同余问题上的发端，而对类似问题的研究欧洲则要落后好几个世纪。“百钱买百鸡”问题则是著名的不定方程问题的代表性例题。

中国古代数学的巅峰期，大家公认的是宋元时期，即公元十一世纪到公元十四世纪，这段时期是中国以筹算为代表的古代数学的巅峰，这一时期，中国涌现出了一大批著名的数学家及数学著作，可谓中国古代数学的璀璨时期。这一时期中数学家有北宋时期的贾宪，他首先提出了开任意高次幂的“增乘开方法”，而欧洲直到19世纪初才有数学家给出相同的方法，同时贾宪还给出了二项式定理的系数表，这被称为“贾宪三角形”，欧洲在十七世纪才由数学家帕斯卡给出相同的结果。宋朝时的科学家、数学家沈括从从生产生活中观察到“酒家积罂”数与“层坛”体积之间的关系，他提出了“隙积术”，即今天我们常说的等差数列求和方法，沈括还给出了正确的计算公式。除此之外，沈括还提出“会圆术”，在中国古代数学的发展上第一次研究了曲线的弧长计算。

南宋时期的秦九韶是这一时期有代表性的数学家，秦九韶的名著《数学九章》是中国古代数学的名著，这本书是秦九韶的唯一数学著作，他将所研究的问题分为九类：大衍类（一次同余式组解法）；天时类（历法计算、降水量）；田域类（土地面积）；测望类（勾股、重差）；赋役类（均输、税收）；钱谷类（粮谷转运、仓窖容积）；营建类（建筑、施工）；军族类（营盘布置、军需供应）；市物类（交易、利息）。《数学九章》标志着中国古代数学的高峰，其先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向，秦九韶的成就不仅代表了宋元时期中国数学的高峰，还是中世纪世界数学发展的最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。秦九韶还研究了高次方程的数值求解方法，他列出了几十种数值求解方法，他求解的方程最高次数达到了十次。秦九韶还系统的研究了一次同余理论，这个问题现在被称为“中国剩余定理”，他在这方面的成就领先欧洲达到几百年，欧洲大数学家欧拉也曾研究过这个问题，但是他在这个问题上的研究还无法达到秦九韶的高度。比秦九韶稍晚的另一位大家是元朝的朱世杰，他著有数学名著《四元玉鉴》，即研究方程中含有（天元、地元、人元、物元）四个未知量，并且提出了消元的的求解思想，这种思想欧洲直到十八世纪才有数学家给出，并且朱世杰还对有限项级数求和问题做了研究，并得到了高次内插公式。朱世杰的工作具有重要意义.朱世杰数学思想的高度俯嫩传统数学，朱世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度，因此朱世杰被誉为“中世纪世界最伟大的数学家”，而他的著作《四元玉鉴》也被认为是中国古代数学最巅峰著作。美国著名的科学史家萨顿评论说：“朱世杰是他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”。

中国古代的算学自宋元后便长期陷入低迷，我们国家在过去两千年中，经历了三次高峰，有着辉煌的历史，但是明清时期中国数学逐渐裹足不前，而欧洲的数学则是从中世纪开始逐步向上发展，在经历了几百年后远超我国的数学，这里面的问题值得我们深思。

参考文献

[1] 数学史，博耶，中央编译出版社，2012年。

[2] 数学之书，克利福德，重庆大学出版社，2015年。

[3] 数学史概论，李文林，高等教育出版社，2011年

注：

本文要感谢上海市重点通识课程项目“中外数学纵横谈”（A1-0224-17-011-09）的资助和支持。