具有工作休假的离散时间Geo/Geo/1重试排队系统

彭懿

DOI：10.7612/j.issn.10002537.2017.02.015

摘要研究了具有工作休假的离散时间Geo/Geo/1重试排队系统. 服务台具有工作休假模式，休假时间服从几何分布并且不能被打断. 分析了此排队系统的马氏链， 得到了系统稳态存在的充要条件. 利用系统演化的平衡方程组求出了重试组队长和服务台状态的联合平稳分布. 最后利用重试组队长的概率母函数， 进一步得到了一系列重要的排队性能指标.

关键词离散时间重试排队系统；工作休假；拟生灭过程

中图分类号O122文献标识码A文章编号10002537（2017）02008906

The DiscreteTime Geo/Geo/1 Retrial Queue with Working Vacations

PENG Yi*

（Junior Education Department， Changsha Normal University， Changsha 410100， China）

AbstractThe classical Geo/Geo/1 retrial queue with working vacations was studied， where working vacations are geometric distributed and cannot be interrupted. The Markov chain underlying the considered queueing system was analyzed and its stability condition was derived. Using the balance equations， the steadystate joint distribution of the number of customers in the obit and the states of the server was obtained. Furthermore， the generating functions of the number of customers in the orbit was found and some performance measures of the system in the steadystate was presented.

Key wordsdiscretetime retrial queues； working vacations； QBD

近年来， 越来越多的文献探究了重试排队系统， 特别是连续时间重试排队系统. 重试排队系统是指顾客到达系统时， 若发现服务台空闲则立即接受服务； 若发现服务台忙但有空的等待位置， 則按某种排队规则在队列中等待服务； 若发现服务台忙且所有的等待位置均被占据， 则进入重试组不断重试直到成功接受服务. 重试排队系统广泛应用于电话交换系统， 通信网络以及计算机网络等领域. 电话订票系统和网上订票系统都可理解为重试排队系统， 包括无线网络的计算机和具有以太网类协议的局域网. 有关重试排队系统的主要研究方法和成果， 有Yang和Templeton[1]， Falin[2]以及Falin和Templeton等[3]. 目前重试排队系统的研究主要集中于连续时间的情形. 然而， 在一些应用中， 离散时间重试排队系统比连续时间重试排队系统更加适合模拟计算机通讯系统和电信系统. 这是因为在许多通信系统中， 时间被划分为可作为一个时间单位的时隙. 例如， 在ATM网络中， 每个单元具有固定的大小和服务时间. 系统从一个状态转换到另一个状态只发生在时隙的开始或结束. 尽管离散时间重试排队系统十分重要， 关于这方面的研究工作却很少.

在过去三十年中， 很多学者致力于研究休假排队系统. 休假是指服务台终止在队列中服务， 服务台可能正在修复， 或者是被迫停止服务. 休假排队系统已广泛用于通信系统， 计算机网络， 生产管理， 业务管理的性能分析等许多现实生活应用中. 关于休假排队系统的文献参见Doshi[4]， Takagi[5]以及Tian和Zhang[6]等. 在这些研究中， 通常假设服务器在休假期间停止服务. 最近， 越来越多的学者感兴趣于工作休假排队系统. 工作休假是指当服务台休假时并不完全停止服务， 只是服务速度比正常工作时的服务速度要慢. Servi和Finn[7]首先研究了M/M/1工作休假排队系统. Wu和Takagi[8]将这项工作扩展到多重工作休假的M/G/1排队系统. Baba[9]考虑了具有多重工作休假的GI/M/1队列. Li[10]分析了具有工作休假的GI / Geo / 1离散时间排队系统. Tian 等[11]研究了具有多重工作休假的Geo/Geo/1离散时间排队系统. Li[12]分析了指数工作休假的M/G/1排队系统. Chae[13]探究了单重工作休假的GI/M/1队列和GI/Geo/1排队系统. Goswami和Selvaraju[14]研究了多重工作休假的MAP/PH/1离散时间排队系统. Do[15]考虑了工作休假的M/M/1重试排队系统. Li等[16]研究了具有工作休假且休假可被打断的离散时间Geo/Geo/1重试排队系统. 然而， 他们的模型并不能包含具有工作休假且休假不能被打断的离散时间重试排队系统. 其次， 当其模型中的重试率趋于无穷时， 其稳定性条件与离散时间Geo/Geo/1队列的稳定性条件不一致. 所以我们试图重新探究具有工作休假的离散时间重试排队系统.

本文重新探究具有多重工作休假的离散时间Geo/Geo/1重试排队系统， 得到一系列非常重要的排队性能指标. 本文的研究主要应用于无线网络中的媒体访问控制功能的性能分析[17].