高层Maxwell耗能结构随机风振响应解析分析

李创第 杜传知 葛新广

摘 要：对设置Maxwell阻尼器的高层建筑结构随机风振响应及等效静态设计风荷载取值进行了研究.首先，用微分积分方程组建立了结构的运动方程；然后用传递函数法，获得了结构以第一振型表示的时域瞬态位移响应非扩阶解析解；根据所得的解析解，用随机振动方法获得了Maxwell阻尼耗能高层建筑结构用第一振型表示的随机风振响应及等效静态设计风荷载取值的解析解；最后用算例验证了解析解的正确性.

关键词：Maxwell阻尼器；高层结构；随机风振响应；解析解

中图分类号：TU311.3 文献标志码：A

0 引言

粘弹性阻尼器等被动控制技术已被广泛应用[1-4]，因此，研究粘弹性阻尼器耗能结构的随机风振响应具有理论和工程意义.Maxwell模型阻尼器本构方程简单，易于扩阶，模型计算参数便于试验数据拟合[5-6]，且一般流体阻尼器比较符合 Maxwell模型，粘弹性阻尼器也可用Maxwell模型近似表示，故Maxwell模型阻尼器耗能结构动力响应特性分析日益受到重视[7-10].Maxwell阻尼耗能结构现有的解析分析方法分为扩阶法和非扩阶近似法两类.扩阶法将Maxwell阻尼耗能结构化为一阶状态方程组求解[11]，目前该法已用于耗能结构平稳随机地震响应的数值分析，但因扩阶方程组物理意义不明确，变量个数剧增，计算效率低，使该法的实际应用受到限制.非扩阶近似法主要是模态应变能法[12]和取结构基频的强行解耦法[13]，国内外的工程实践已有较多应用；但该法采用阻尼器频域建模方式，使耗能结构方程并不严格适用于强风和地震等非简谐激励的时域分析，且采用较多近似假设，使其精度有待提高，应用范围受到限制[14].

针对传统方法的不足，本文力求得出兼顾精确和效率的优效方法.传递函数法不需扩阶，已广泛用于航空、机械、车辆等工程领域的振动分析，获得了一般粘滞阻尼对称线性定常结构的脉冲响应函数精确解[15-17]，但尚未见该方法用于上述粘弹性阻尼频率依赖非定常结构的研究.本文运用传递函数法，建立高层耗能结构随机风振响应的解析分析法，获得摘要所述结果.

1 运动方程

设一高层建筑结构在脉动风荷载Pf（t）作用下，其计算简图及结构运动方程同文献[18].

由于高层建筑结构的风振响应以第一振型为主[18]，故可将x按结构第1振型？渍1=[？渍11，？渍21，…，？渍n1]T及其广义坐标y展开：

x（t）=？渍1y（t） （1）

则文献[18]中的结构运动方程（1）可化为：

■+2ω1ξ1■+ω12y+■hd（t-？子）■（？子）d？子=w（t） （2）

式中ω1，ξ1分别为结构第一振型的频率和阻尼比；

（3）

（4）

2 广义位移瞬态响应分析

2.1 结构特征值分析

设结构从零初始状态开始运动，即：

y（t=0）=0，■（t=0）=0 （5）

對式（2）取拉氏变换，得：

s2y（s）+s[2ξ1ω1+hd（s）]y（s）+ω12y（s）=w（s） （6）

y（s）=D（s）-1w（s）=H（s）w（s） （7）

D（s）=s2+s[ 2ξ1ω1+hd（s）]+ω12 （8）

（9）

式中：y（s），w（s），hd（s）分别是y（t），w（t），hd（t）的拉氏变换，D（s）和H（s）分别是结构广义位移的阻抗和传递函数.

结构的特征值方程为：

detD（s）=0 （10）

由式（10）可求出N=2+n个特征值sj，即：

（11）

2.2 传递函数解析式

因为sj是传递函数H（s）的极点，由传递函数的残数理论[15]，可将H（s）表示为：

H（s）=■■ （12）

其中，待定常数ηj为：

（13）

由D（s）的表达式（8），易得：

（14）

2.3 广义位移时域解析解

由式（7）和式（12）得：

（15）

对式（15）取拉氏逆变换，得广义位移的时域解析解为：

（16）

3 随机风振响应解析分析

3.1 脉动风荷载激励模型

结构在高度为Hi的各楼层所受到的脉动风荷载Pf i （Hi ，t）为[19-20]：

Pf i （Hi ，t）=I0（Hi）■P（Hi）f （t）=I0（Hi）B0（Hi） f（t） （17）

式中：I0（Hi）——方差等于1的随机变量；k1——与地面粗糙度有关的系数；P（Hi）——Hi高度处平均风荷载；μz（Hi）——风压高度变化系数；f（t）——脉动风速的平稳随机过程，仅为时间t的随机函数，其均值为0，且具有规格化的功率谱Sf（ω）（即■Sf（ω）dω=1）.

考虑竖向相关性，则脉动风载Pf i （Hi ，t）和Pf j （Hj ，t）的相关函数为[19-20]：

E[Pf i （Hi ，t）Pf j （Hj ，t+？子）]=ρij B（Hi）B（Hj）E[f（t）f（t+？子）] （18）

式中，E[·]表示取函数期望值；

ρij =E[I0（Hi）I0（Hj）]=exp-■│Hi-Hj│ （19）

B0（Hm）=■P（Hm），（m=i，j） （20）

当规格化的脉动风速平稳随机过程f（t）用巴斯金相关函数及其功率谱表示时，有如下表达式[19-20]：

Rf（？子）=E[f（t）f（t+？子）]=θ2e-α│？子│（ cosβ？子+μsinβ│？子│） （21）

Sf（ω）=■·■ （22）

式中：θ2=1；μ=-■；α=4.806 7×10-4V10；β=3.992 5×10-3V10；V10为离地面10 m处的平均风速.

3.2 结构风振响应解析表达式

由式（4）、式（16）、式（17）可得：

y（t）=σ■ηj■esj（t-？子）f（？子）d？子=σ■ηjδj（t） （23）

式中：

δj（t）=■esj（t-？子）f（？子）d？子 （24）

（25）

{B0（Hi）}= [B0（H1），B0（H2），…，B0（Hn）]T （26）

则结构广义位移平稳响应方差为：

（27）

其中：

（28）

（29）

D=[ρijB0（Hi）B0（Hj）] （30）

令：

q=-α+jβ；q=-α-jβ， （j=■） （31）

利用欧拉公式：

eq│？子│+eq│？子│=2e-α│？子│cosβ？子， eq│？子│-eq│？子│=2je-α│？子│sinβ？子 （32）

将Rf（？子）的表达式（21）改写为：

Rf（？子）=e-α│？子│（cosβ？子+μsinβ│？子│）=（geq│？子│+geq│？子│） （33）

式中：g=■（1-jμ）；g=■（1+jμ）.

则 的表达式（28）化为：

（34）

式中：

A2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q）+g[esk│？子+u│-eq│？子+u│）/（sk-q） （35）

B2（u）=■（geq│？子+u-v│+geq│？子+u-v│）eskvdv=-[■+ ]esk（？子+u） （36）

将式（35）、式（36）代入式（34）并求积分，最终可得：

（37）

式中：

αjk=■■+■；βjk= ■+■；

γjk=■g■-■+■■-■ （38）

特别的，令？子=0，得 的解析式为：

（39）

将式（39）代入式（27），可得结构第一振型广义位移平稳响应方差解析解为：

（40）

4 结构风振响应设计值分析

由于结构广义位移风振响应设计值ymax是响应y（t）的最大值，故可取响应设计值为峰值因子Cf与响应y（t）的标准差■的乘积，也即：

ymax=Cf■ （41）

对于风荷载，我国《荷载规范》取峰值因子Cf=2.5.将上式结果代入式（4），可得结构各层位移响应设计值为：

xmax=2.5×？渍1ymax （42）

5 等效风荷载取值计算

结构刚度矩阵k，质量矩阵m与结构第一振型？渍1及第一频率ω1有如下关系：

k？渍1=ω12m？渍1 （43）

故有：

k？渍1ymax=ω12m？渍1ymax （44）

kxmax=ω12mxmax （45）

要使结构产生的设计位移向量为xmax，需施加的等效风振力向量为ω12mxmax，所以结构第i层的等效风振力分量Pdi为：

Pdi=ω12miximax=ω12mi？渍i1ymax （46）

式中：mi——结构第i层的集中质量；ximax——结构第i层的风振位移响应设计值；？渍i1——结构第一振型？渍1在第i层处的分量.

因为结构顺风向等效静态设计风荷载可视为平均风力P（Hi）与等效风振力共同作用的总效应，所以，结构在第i层楼层处的顺风向等效静态设计风荷载取值为：

（47）

6 算例

某海边（A类地区）一栋12层框架结构，当地基本风压0.7 kN/m2，离地面高度10 m处平均风速V10取30 m/s.结构层间质量m1～m2为300×103 kg，m3～m11为270×103 kg，m12为130×103 kg；层间刚度k1～k2为350×103 kN/m，k3～k12为300×103 kN/m；结构第1振型阻尼比ξ1=0.05.各结构层设置10组参数相同的Maxwell阻尼器，阻尼器参数取值如表1所示.

图3为4种工况下结构风振位移响应设计值示意图.用本文方法获得的结构风振位移响应设计值和用数值积分获得的风振位移响应设计值数值解完全一致，如图1所示，本文方法和数值积分方法所得结果绘制图形完全重合，从而验证了本文方法的正确性.

表2和表3分別列出了有无阻尼器控制的结构各层风振位移响应设计值、等效静态设计风荷载取值.计算结果表明：与无阻尼器控制相比（即工况1），工况2～工况4控制的结构风振位移响应减小分别为：5.66%，14.37%，41.22%，可见设置阻尼器的参数越大，结构减振效果越明显.

7 结论

本文对设置Maxwell阻尼器的高层建筑结构随机风振响应及等效静态设计风荷载取值进行了研究，获得了结构以第一振型表示的时域瞬态位移响应解析解，并根据所得解析解，获得了Maxwell阻尼器耗能高层建筑结构用第一振型表示的随机风振响应及等效静态设计风荷载取值的解析解.把复杂的随机振动设计方法转化为简单的静态等效设计法，将有助于结构控制先进技术在实际工程中的推广应用.

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Abstract： The random wind-induced response and the equivalent static design wind action of tall building structure with Maxwell dampers are studied. Structural dynamic integral-differential response equations are established. Then by using transfer function method， the exact solutions of structural transient response in time-domain are obtained by expanding the structure with respect to the first mode. Analytical solution of structural wind-induced random response and equivalent static design wind load of tall building structure with Maxwell dampers are obtained by using random vibration method. Example analysis has proved the validity of the consequence.

Key words： Maxwell damper； tall building structure； wind-induced random response； analytic solution

（學科编辑：黎 娅）