脉冲随机Cohen—Grossberg神经网络的几乎必然指数稳定性

孙云霞 程培 李殿强 尚蕾

摘 要：研究带有脉冲的随机Cohen-Grossberg神经网络的几乎必然指数稳定性问题， 基于Lyapunov稳定性理论，利用随机分析技巧和线性矩阵不等式工具，得到系统基于矩阵不等式的几乎必然指数稳定性充分条件， 并通过一个例子来验证结论的有效性.

关键词：Cohen-Grossberg神经网络；脉冲；线性矩阵不等式；Lyapunov函数；几乎必然指数稳定

中图分类号：O231 文献标志码：A

0 引言

Cohen-Grossberg神经网络（简称CGNN）是由Cohen等[1]于1983年首次提出的一种神经网络模型，它包括种群生物学、神经生物学、进化理论等学科中许多著名模型作为其特例. 作为一类广义的神经网络模型，CGNN模型在模式识别、系统辨识、信号处理、图像处理、最优化、机器学习以及控制等方面都有广泛的应用.

在实际神经网络中，突触之间信息的传递往往会受到由神经递质或其它随机因素的释放而导致的随机噪声的影响. 随机噪声的存在可能使得神经网络产生振荡行为或其它失稳现象甚至出现混沌现象，从而影响神经网络的整体性能[2]. 另外， 在电子网络的运行过程中，其状态可能会受到由切换、频率变化或其它突发噪声引起的瞬时扰动，从而在特定时刻经历瞬时突变，这种瞬时突变现象称为脉冲扰动. 近年来， 神经网络[3-4]、随机CGNN[5-9]以及带有脉冲的随机CGNN [10-12]的稳定性问题吸引了大批学者的关注，并取得了很多的研究成果. 但是，目前关于带有脉冲的随机CGNN稳定性方面的研究主要都集中于均方稳定性分析方面，而关于几乎必然（a.s.）指数稳定性方面的研究结果不多见.

本文将基于Lyapunov稳定性理论，利用It？觝公式、指数鞅不等式和Borel-Cantelli 引理等随机分析技巧，结合线性矩阵不等式（LMI）工具，研究带有脉冲的随机CGNN的几乎必然指数稳定性，建立系统几乎必然指数稳定的充分条件，并通过一个数值例子及仿真模拟来验证所获结果的有效性.

1 准备知识

本文采用以下记号：记（Ω，{Ft}t≥0，P）为带有σ代数流{Ft}t≥0的完备概率空间，w（t）=（w1（t），…，wm（t））T为定义于该空间上的m维标准布朗运动，N为正整数集，Rn为n维欧氏空间，Rn×m为n×m实矩阵，I为合适维数的单位矩阵，符号diag表示对角矩阵.上标T表示向量或矩阵的转置，符号*表示矩阵中由对称性得到的元素.

考虑带有脉冲的随机CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t），t≠tkx（tk）= （1）

其中：x（t）=[x1（t），…，xn（t）]T为n维神经元状态向量，矩阵a（x（t））=diag（a1（x1（t）），…，an（xn（t）））为放大函数，b（x（t））=

[b1（x1（t）），…，bn（xn（t））]T为神经元形为函数，A∈Rn×n为连接权矩阵，g（x（t））=[g1（x1（t）），…，gn（xn（t））]T为神经元激励函

数，σ（x（t））∈Rn×m为噪声强度矩阵函数.x（tk）= 表示系统在脉冲时刻tk的状态跳变，Ck为脉冲强度矩阵. 假设脉冲时刻tk满足0=t0假设1 存在正常数hi和li（i=1，2，…，n），使得：0

证：由假设1可知，函数a（x（t））满足：

a（x（t））·a（x（t））≤l2I

线性矩阵不等式（3）两边分别乘以diag（a（x（t））， I）得：

Φ=-2hQ△+γD-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0 （7）

定义Lyapunov函数V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由系统（1）的第二个方程及不等式（6）可知：

（8）

对任意t≠tk， 由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t） （9）

其中：

LV（x（t））=-2xT（t）Qa（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]+trace[σT（x（t））Qσ（x（t））]≤

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））+γxT（t）Dx（t），

HV（x（t））=2xT（t）Qσ（x（t））.

由假设3知：

-■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）≥0 （10）

由假设1和假设2知：

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））≤-2hxT（t）Q△x（t） （11）

将式（10）和式（11）代入式（9）可得：

LV（x（t））≤xT（t）-2hQ△+γD-（k0-■-α）Qx（t）+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））-

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξT（t）Φξ（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

其中：ξT（t）=[xT（t）， gT（x（t））].

由Φ<0， 知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t）） （12）

由式（5）知：

HV（x（t））■=2xT（t）Qσ（x（t））■=4xT（t）Qσ（x（t））■≥2k0V2（x（t）） （13）

对任意t∈[tk-1， tk）， k∈N，由It？觝公式可得：

lnV（x（t））=lnV（x（tk-1））+■■ds-■■■ds+■■dw（s） （14）

对于t=tk，由式（8）可知：

（15）

因此，对于任意t≥t0， 由式（12）～式（15）并利用迭代技巧可得：

lnV（x（t））≤lnV（x0）+■lnμ+（k0-■-α）（t-t0）-■■■ds+M（t） （16）

其中：

M（t）=■■dw（s）

是一个连续鞅并且满足初值M（t0）=0， 其二次变差过程=■■ds.

任意取定ε∈（0，1），由指数鞅不等式，对k∈N

由Borel-Cantelli 引理可得对几乎所有的样本点ω∈Ω，都存在一个整数k0=k0（ω），当k≥k0时有：

因此，对任意t0≤t≤k都有：

M（t）≤■lnk+■

證：由假设1及式（23）知

Φ1=-2hQ△+BTQB-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0.

定义Lyapunov函数V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由条件（24）可知：

对任意t≠tk，由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t），

其中：

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξ1T（t）Φ1ξ1（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

. 由Φ1<0，知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t））

由式（25）知：

以下证明过程与定理1相同，故省略. 证毕.

3 数值例子

考虑如下脉冲随机CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t）， t≠tkx（tk）=Cx（tk-），k∈N （26）

其中，a（x（t））=3+sinx1（t） 0 0 3+sinx2（t），b（x（t））=2x1（t）2x2（t），A=1 00 1，σ（x（t））=4x1（t）4x2（t），g（x（t））=tanh（x1（t））tanh（x2（t）），C=1.2I，

tk=0.1k.

通过简单计算可选取：

h=2， l=4， k0=32， Δ=diag（2，1）， K=0.5I， D=16I.

令ρ=0.386 7， α=0.01， 利用MATLAB工具箱求解可得满足线性矩阵不等式（3）和式（4）的可行解：

γ=25.930 3， Q=19.212 3 0 0 20.443 3，？撰=11.943 5 0 0 12.922 3.

由脉冲强度矩阵C=1.2I知，脉冲对网络的稳定性起扰动作用，选取μ=1.44，则矩阵不等式（6）成立.

由定理1知神经网络（26） 在lmin（0.386 7）上一致几乎必然指数稳定. 选取脉冲时间间隔tk-tk-1=0.4， 初始值x0=[0.5， 0.1]T，神经网络（26）的单个样本轨迹如图1所示：

4 结论

本文对一类随机脉冲Cohen-Grossberg神经网络的几乎必然指数稳定性进行了研究.通过选取适当的Lyapunov函数和利用线性矩阵不等式工具，得到判定其几乎必然指数稳定的充分性条件.最后，通过一个数值例子和仿真模拟验证了结论的有效性.

参考文献

[1] COHEN M A， GROSSBERG S， GROSSBER. Absolute stability of global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks[J]. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics， 1983， 13（5）：815-826.

[2] 刘少宝，吴莹，郝忠文， 等. 钠离子和钾离子通道噪声扰动对神经网络时空模式的影响[J]. 物理学报，2012，61（2）：1-7.

[3] 李向阳，曾文波. 基于BP神经网络矩形微带天线谐振频率预测[J]. 广西科技大学学报，2014，25（3）：26-31.

[4] 陈伟，孔峰，陶金. 神经网络在网络检测中的应用[J]. 广西工学院学报，2011，22（1）：78-81.

[5] WANG C H ， KAO Y G ， YANG G W. Exponential stability of impulsive stochastic fuzzy reaction-diffusion Cohen-Grossberg neural networks with mixed delays[J]. Neurocomputing， 2012， 89：55-63.

[6] ZHU Q X， CAO J ， RAKKIYAPPAN R. Exponential input-to-state stability of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed delays[J]. Nonlinear Dynamics，2015，79（2）：1085-1098.

[7] LI X D， FU X L. Global asymptotic stability of stochastic Cohen-Grossberg-type BAM neural network with mixed delays： an LMI approach[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235（12）：3385-3394.

[8] ZHU Q X ， LI X D. Exponential and almost sure exponential stability of stochastic fuzzy delayed Cohen-Grossberg neural networks[J]. Fuzzy Sets and Systems， 2012， 203 ：74-94.

[9] YANG Y Q， LIANG T， XU X Y. Almost sure exponential stability of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with continuous distributed delays of neutral type[J]. International Journal for Light and Electron Optics，2015，126（23）：4628-4635.

[10] DONG M， ZhANG H G， WANG Y C. Dynamics analysis of impulsive stochastic Cohen-Grossberg neural networks with Markovian jumping and mixed time delays[J]. Neurocomputing，2009，72（7-9）：1999-2004.

[11] RAKKIYAPPAN R， CHANDRASEKAR A， LAKSHMANAN S， el at. Park. Exponential stability of Markovian jumping stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mode-dependent probabilistic time-varying delays and impulses[J]. Neurocomputing，2014，

131：265-277.

[12] ZHU Q X， CAO J D.Robust exponential stability of Markovian jumping impulsive stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed time delays[J]. IEEE Transactions on Neural Networks，2010，21（8）：1314-1324.

Abstract： This paper focuses on the analysis of almost sure exponential stability of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with impulse. Based on the Lyapunov stability theory， by using some stochastic analysis techniques and linear matrix inequality tool， we establish a set of sufficient conditions of almost sure exponential stability of system in terms of matrix inequalities. Finally， we give a numerical example to illustrate the effectiveness of the results obtained.

Key words： Cohen-Grossberg neural networks； impulse； linear matrix inequality； Lyapunov function； almost sure exponential stability

（學科编辑：张玉凤）