关于爱因斯坦、伯格曼和第五维度的注记

摘 要 在1938年的论文中，爱因斯坦和伯格曼证明了，在远距情况下，与爱因斯坦-麦克斯韦理论相容的四维理论其实是一个五维理论的推论，而且这个五维理论关于每个维度都是对称的。他们因此而成为以此为基础的现代观点的先驱。但过了不久，他们却将论点撤回了，还用一种对现代读者来说相当不自然的方式修改了这理论，破坏了它关于五个维度的对称性。这是为什么？笔者从彼得·伯格曼的回信中得知，原来这是因为，那个更对称的五维理论会导致存在一个新的远距作用场（一个无质量的标量场）。而在1938年，爱因斯坦和伯格曼并不想让这种作用场出现。

关键词 电磁力和引力统一理论 五维理论 远距作用场

本文主要讨论爱因斯坦和伯格曼1938年关于五维时空中电磁力和引力统一理论的论文[4]的一个历史细节。三十多年前，当我第一次读到这篇文章时，就立即对其中一点感到好奇。马上我就會说到，爱因斯坦和伯格曼在文章的开头就引入了一个十分现代化的观点，即可能存在第五个维度。但他们随即又收回了这一说法，并破坏了在现代读者看来这一理论所蕴含的一种自然之美。这是为什么呢？

我猜想，这大概是因为在1938年，爱因斯坦和伯格曼还不想由此导致一个新的远距作用场（一个无质量的标量场）的存在性。我曾写信给彼得·伯格曼询问此事（图1），根据我对他回信（图2）的理解，我的猜测是对的。这篇文章里，我会解释这一问题，并说明我是如何理解伯格曼的回信的。

导致爱因斯坦想要统一电磁力和引力的一个重要因素，是提奥多·卡鲁扎（Theodor Kaluza）[6]在1921年的一个提议。奥斯卡·克莱因（Oskar Klein）[7]后来也独立发现并推广了这理论，因此现在通常被称作卡鲁扎—克莱因理论。这个提议指出，除了传统相对论中的四个维度（三个空间维度和一个时间维度）外，还有第五个维度；而电磁力是由第五个维度中的引力场发生偏振而产生的①。

虽然按照爱因斯坦的预想，这还远远不是理论的全部，但这个观点看上去已经十分现代，并且很有可能是正确的。卡鲁扎最初的提议其实忽略了一个对现代读者来说十分重要的因素。虽然卡鲁扎引入了第五维，从而把电磁力和引力结合起来，但他并没有将五维的场方程以一种对称的方式表达出来。因此，对于现代读者来说，卡鲁扎并没有在电磁力和引力之间构成对称性，而他所完成的，与其说是一个统一的理论，不如说只是一套统一的符号②。

爱因斯坦和伯格曼的主要创造，在于把第五个维度作为物理实体来严肃对待，而不是单纯为了将度规张量和电磁势整合到一个5阶矩阵之中。在引言中，他们写道：“我们此处的理论与卡鲁扎的理论有一个关键不同：我们赋予了第五维以实际的物理意义，而卡鲁扎引入第五维只是为了得到电磁场度规张量的一个新分量。卡鲁扎在选择合适的坐标系时，假设了场变量仅依赖于四个坐标x1，x2，x3，x4，而不依赖于第五个坐标x0。很明显，这是因为经验告诉我们，物理连续统是四维的。但我们想要指出，在不违反物理连续统的四维特征的情况下，也可以赋予第五个坐标一些（物理）意义。”

为了解释为什么宇宙即便有第五个维度而看起来依然是四维的，爱因斯坦和伯格曼用一条细长的管子①打了比方（图3）。这意思是说，如果一个人近距离观察管子，那么它看上去是二维的，因为可以看到它的长度和宽度（如果再近一点，看到了材料的厚度，那么管子就是三维的），而如果从极远的地方观察，那就会以为管子是一维的，因为从这么远的距离只能看出管子的长度。

以前的学者有时要么“规定”了我们不能观察第五维，要么假设第五维只在方程中出现而没有物理意义。不管前者还是后者，都导致该理论在现代科学家眼中不尽如人意，而且无法由它来给出有效的预测。相反，爱因斯坦和伯格曼几乎已经表明，虽然大自然的方程式中所有五个维度的地位是平等的，但在我们的世界中第五维要小得多，因此更难观察。这是一个很超前的想法，大概也是爱因斯坦离“统一场论”这一现代重要课题最为接近之处了。大约四十年后，欧詹·克雷梅（Eugène Cremmer）和朱爱尔·谢尔克（Joel Scherk）[3]用了大量篇幅来介绍此观点，还用“自发对称性破缺”等一套十分现代化的术语来称呼它②。从那时起，卡鲁扎-克莱因理论就成了自然力统一理论的一个关键成分。

然而，就在同一篇论文的最后部分，爱因斯坦立刻撤回了这一论点，并且我相信在之后的论文中，爱因斯坦再也没有研究它。取而代之，爱因斯坦和伯格曼加了一个约束条件（存在指定长度的闭测地线），这导致他们陷入了在今天的读者看来极其繁复的计算之中。爱因斯坦、伯格曼和瓦伦坦·巴格曼（Valentine Bargmann）随后专门发表了一篇论文来讨论这些计算[5]。

爱因斯坦和伯格曼没有明确解释他们为什么引入这一约束，破坏了（用现代话说）第五维度和前四维之间的对称性。这一约束看上去十分“人为”而不自然，他们引入必有其原因。我立刻想到了一个理由。如果他们没有引入这个约束，那么第五维上的长度波动就会在四维中产生一个无质量的标量场①。从宏观的角度来看，撇开电磁力而就引力部分来说，这不是纯粹的广义相对论，而是广义相对论和诺德斯特姆引力理论的结合。而这理论是爱因斯坦所反对的，也是被他所推翻了的。这种混合理论现在常常被称为标量—张量理论②。

早在三十年前，我就阅读了爱因斯坦和伯格曼的文章以及其他一些早期关于卡鲁扎-克莱因理论的论文，因为我对克雷梅—谢尔克的自发紧化观点之源头究竟能追溯到多早感到非常好奇。显然，爱因斯坦和伯格曼已经接近这一理论了，但他们引入约束的决定破坏了理论的简洁和优美，这就急需一个解释。不过最明显的解释是，在1938年，爱因斯坦根本就不想把广义相对论变成一个标量—张量理论。

我相信我与伯格曼的通信（图1和图2）证实了这一点。他写道：“限制度规张量分量g5k形式的原因在我相对论教科书的275页有详细的解释。简单地说，原因就在于这个理论并不是标量—张量理论（布兰斯-迪克类型）但在宏观上仍使g55=1。”其正文在参考文献[5]中可以找到。伯格曼说这个理论“不是”一个标量—张量理论，我认为他的意思是指它“并不需要”是一个标量—张量理论。紧接着他继续说道，所加的约束是一个导致它不能成为统一理论的一个“瑕疵”（我的注释在方括号中）：“……在最初的K—K理论中，五维对称不是“自发”被破坏的，而是在一开始被一个基灵（向量）场的假设所摧毁。在EBB[爱因斯坦—伯格曼—巴格曼]的修改中，它则是被一个拓扑学假设[假设第五维度是一个圆] 和爱因斯坦测地线假设[消除标量约束]所破坏。无论是哪种，分解为四维对称加上一个R或S1的规范群，在讨论动力学定律之前就已经建立在理论当中了。”这也很可能被认为是这些理论的缺陷，因为它们不是真正“相容”的（即统一的），这就违背了其创始人的期望。依我的理解，在伯格曼最后一个注解中，他承认消除这个不想要的无质量标量场的代价就是破坏了理论的优美性。

也许，如果爱因斯坦再年轻一些，他就会遵循在今天看来合乎逻辑的卡鲁扎-克莱因理论，并由此预知广义相对论需要做一个标量—张量的修订。这绝对会是一个大胆的预想，但爱因斯坦并没有选择那条路。正如我们现在知识所证明的，如果按照这个预测，那么理论和后来的实验结果并不相符。但这仍然会是一个至关重要的进步，因为它不仅说明了如果要统一自然力就会存在一个新的场，还会引出今天研究自然力统一理论的物理学家仍然为之奋斗的许多问题。例如，弦理论的模量问题就是一个。

据托马斯·阿普尔基斯特（Thomas Appelquist）、阿兰·乔多斯（Alan Chodos）和彼得·乔治奥利弗·弗雷德（Peter George Oliver Freund）①的历史综述，等到十年之后，帕斯卡·约尔当（Pascal Jordan）和蒂埃里·拉塞尔（Thierry Lasserre）才再一次讨论在没有约束条件的情况下，从五维卡鲁扎-克莱因理论如何来引出这个标量—张量理论②。后来，卡尔·布兰斯（Carl Brans）和罗伯特·迪克（Robert Dicke）系统地研究了标量—张量理论，这为迪克改进广义相对论的某些经典实验注入了一些动力。

爱因斯坦和伯格曼用一句可以启发当今物理学家的话总结了他们的文章：“不仅要从形式上引入第五维度，而且要赋予其一定的物理意义，这才能让人满意。毕竟，这和我们在物理世界经验的四维空间的特征并没有矛盾。”这一点他们解释得很好。但他们也写道：“毫无疑问，卡鲁扎的目的就是通过引入一个统一的场结构来获得关于引力和电磁力的一些新的物理视角。但这一目标并未实现。”在这里不得不说的是，爱因斯坦和伯格曼显然并不喜欢由他们的理论所引出的那个物理视角。

我感谢保罗·斯坦哈特（Paul Steinhardt），他在讨论时给了我各种启发。

附录 两封信件译文

1981年1月19日

彼得 · G · 伯格曼教授

雪城大学（Syracuse University）物理系

纽约，雪城，13210

亲爱的伯格曼教授：

我写这封信给您，是因为最近我对引力规范场统一理论的卡鲁扎-克莱因方法有了兴趣。我产生了一些关于该理论历史发展的疑问，同时也很想知道在“古典”时期人们是怎样理解这个理论的。

在您与爱因斯坦合作的那篇论文中（《数学年刊》1938年第39卷，第683），您清楚地解释了，在场的变化的特征范围比第五维的半径大得多的情况下，第五维紧的五维时空，是如何表现得只有四维的（即便场非平凡地依赖于全部五个坐标）。作为其基础，您指出，度规的gij分量 （i，j=1，L4） 可以是全部五个坐标的任何函数。正如您在论文中所注明的，这就向同等对待所有五个维度迈出了一大步。但在此之后，您并没有允许gi5 和g55成为坐标的任意函数。这是什么原因？

我所找到的最早提議度规应当以任意方式依赖于所有五个坐标的（紧或非紧），是克雷梅（Cremmer）和谢尔克（Scherk）的工作（《核物理》1976年B103第393页；B108第409页）。有比他们更早提出这一观点的吗？如果没有的话，为什么呢？是因为想要消除由g55引出的无质量的标量粒子吗？

我另寄了一份我最近写的一篇关于卡鲁扎-克莱因理论的文章，以及一篇我用狄拉克方程证明正能量定理的文章①。

致礼

爱德华·威滕

1981年1月23日

爱德华·威滕博士

物理系

贾德文大楼

普林斯顿大学

新泽西州，普林斯顿，08540

亲爱的威滕博士：

限制度规分量的函数表达形式的原因在我写的相对论教科书②的275页已有指出。

简单地说，其中的原因就是这个理论并非（布兰斯-迪克型的）标量-张量理论，但在宏观上保持了g55=1。当然，在这种EBB理论中，你必须把你的基本假设写成有理可循的不依赖坐标的（内蕴）形式。爱因斯坦的提议指出了经过流形上的每一点都有一条由该点回到自身的（闭）测地线，并且这测地线没有尖顶和棱角。由此可以直接推出，在整个流形上这样的闭测地线的长度是个常数，从而进一步得出可以引入一个具有您所说的性质的坐标系。

如果丢掉这个测地线假设，你就得到了与一个标量-张量理论十分相似的理论。可能也存在一个更好的（非测地的）曲线族（参见再版的泡利的《百科全书》文章后面的评论），但据我所知，这个猜想没人证明也没人证伪。不管考不考虑测地线假设，这个理论在宏观上是四维的，引入第五维本来就是出于微观上的考虑。

我刚刚收到您的那篇论文《寻找…》①。到现在我还只读了引言部分，以后我再写信给你讨论这篇文章。无论如何，在最初的K—K理论中，五维对称不是“自发”被破坏的，而是在一开始被一个基灵（向量）场的假设所摧毁。在EBB的修订中，它则是被一个拓扑学假设和爱因斯坦测地线假设所破坏。无论是哪种方式，分解为四维对称加上一个R或S1的规范群，在讨论动力学定律之前就已经建立在理论中了。这也很可能被认为是这些理论的缺陷，因为它们不是真正“相容”的（即统一的），这就违背了它们创始人的期望。

致礼，

彼得·伯格曼

致 谢 感谢清华大学高等研究院的杨振宁教授和西北农林科技大学的林开亮博士提供的诸多帮助！

参考文献

[1] Chodos， A.， Freund， P.. Modern Kaluza-Klein Theories[M]. Addison-Wesley. 1987.

[2] Bergmann， P.. An Introduction To The Theory Of Relativity[M]. Prentice-Hall. 1942.

[3] Cremmer， E.， Scherk， J.. Dual Models In Four Dimensions With Internal Symmetries[J]. Nucl. Phys. 1976. B103： 399； Spontaneous Compactification Of Space In An Einstein Yang-Mills Higgs Theory[J]. Nucl. Phys. 1976a. B108： 409.

[4] Einstein， A.， Bergmann， P.. On A Generalization Of Kaluza's Theory Of Electricity[J]. Annals of Mathematics. 1938. 39： 683.

[5] Einstein， A.， Bargmann， V.， Bergmann， P.. On The Five-Dimensional Representation Of Gravitation And Electricity[A]. Theodore von Karman Anniversary Volume[C]. 1941. 212.

[6] Kaluza， T.. On The Unification Problem In Physics[J]. Sitzungsberichte Pruss. Acad. Sci. 1921： 966. Reprinted in English translation in reference [1].

[7] Klein， O.. Quantum Theory And Five-Dimensional Theory Of Relativity[J]. Z. Phys. 1926. 37： 895. Reprinted in English translation in reference [1]； The Atomicity Of Electricity As A Quantum Theory Law[J]. Nature. 1926a. 118： 516. Reprinted in [1].

A Note on Einstein， Bergmann， and the Fifth Dimension

Edward WITTEN

Abstract： This note is devoted to a detail concerning the work of Albert Einstein and Peter Bergmann on unified theories of electromagnetism and gravitation in five dimensions. In their paper of 1938， Einstein and Bergmann were among the first to introduce the modern viewpoint in which a four-dimensional theory that coincides with Einstein-Maxwell theory at long distances is derived from a five-dimensional theory with complete symmetry among all five dimensions. But then they drew back， modifying the theory in a way that spoiled the five-dimensional symmetry and looks contrived to modern readers. Why？ According to correspondence of Peter Bergmann with the author， the reason was that the more symmetric version of the theory predicts the existence of a new long range field （a massless scalar field）. In 1938， Einstein and Bergmann did not wish to make this prediction.

Keywords： unified theories of electromagnetism and gravitation， five dimensional theory， long range field