一类非线性Volterra积分不等式

摘要分别针对具有结构参数和范数有界参数的滞后型Lurie控制系统的鲁棒绝对稳定性问题，利用Lyapunov方法给出了系统鲁棒绝对稳定的时滞无关条件及时滞相关条件.得到的结果用线性矩阵不等式（LMI）表示，易于利用MATLAB工具箱求得保守性较低的条件.关键词Lurie控制系统；鲁棒绝对稳定性；线性矩阵不等式（LMI）

中图分类号TB114.2

文献标志码A

0引言

近年来，对具有参数或非参数不确定性的动态系统的鲁棒稳定性问题的研究已取得了较大的进展.Lurie控制系统是一类重要的非线性控制系统，对无时滞或含有时滞的Lurie控制系统的绝对稳定性问题的研究也得到了许多很好的结果[15].本文对具有不确定性参数的滞后型Lurie控制系统的鲁棒绝对稳定性问题，利用Lyapunov方法就不确定性的以下两种情况进行研究：1）满足结构条件；2）范数有界.

1系统描述及引理

考虑如下具有不确定参数的滞后型Lurie直接控制系统：

（t）=（A+ΔA（θ））x（t）+（B+ΔB（θ））x（t-τ）+（D+ΔD（θ））f（σ（t））+（E+ΔE（θ））f（σ（t-h）），

（t）=CTx（t）-Jf（σ（t）），

x（t）=φ（t），t∈[-T，0]， （1）

式中x（t）∈Rn 为状态向量，A，B∈Rn×n，D，E∈Rn×m，Ci∈Rn，i=1，2，…，m，J∈Rm×m，C=C1，C2，…，Cm∈Rn×m为常数矩阵.τ>0，hi>0，i=1，2，…，m，为常数时滞，φ（t） 为連续的初值函数向量.σ（t）=σ1（t），σ2（t），…，σm（t）T∈Rm，

f（σ（t））=f1（σ1（t）），f2（σ2（t）），…，fm（σm（t））T，

f（σ（t-h））=f1（σ1（t-h1）），f2（σ2（t-h2）），…，fm（σm（t-hm））T，

fi（·）∈K[0，ki]={fi（·）|fi（0）=0，0<σifi（σi）≤kiσ2i，σi≠0}，ki>0，或

fi（·）∈K[0，∞）={fi（·）|fi（0）=0，σifi（σi）>0，σi≠0}，i=1，2，…，m.

ΔA（θ），ΔB（θ），ΔD（θ）为表示不确定性参数θ的函数矩阵，θ属于某闭集.本文假定它们具有如下形式：

ΔA（θ）=G1F1（θ）H1，ΔB（θ）=G2F2（θ）H2，

ΔD（θ）=G3F3（θ）H3，ΔE（θ）=G4F4（θ）H4，

式中Gi，Hi，i=1，2，3，4，为适当维数的常数矩阵.Fi（θ），i=1，2，3，4，为元素Lebesgue可测的未知参数θ的实函数矩阵，满足FiT（θ）Fi（θ）≤I（i=1，2，3，4），I为单位矩阵.

为简洁，记

学报（自然科学版），2017，9（4）：395399 Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：395399

徐炳吉.具有不确定参数的滞后型Lurie控制系统

鲁棒绝对稳定性的LMI方法.

XU Bingji.

LMI approach for robust absolute stability of Lurie control systems

with timedelay and uncertain parameters.

=A+ΔA（θ），

=B+ΔB（θ），

=D+ΔD（θ），

=E+ΔE（θ）.

U>0（或U≥0） 表示U为正定矩阵（或半正定矩阵）；U<0表示U为负定矩阵.

引理1[6]对任意矩阵u，v及任意正定矩阵P，下式成立：

-uTv-vTu≤uTPu+vTP-1v，

uTv+vTu≤uTPu+vTP-1v.

引理2[7]对于实矩阵A，L，E及满足‖F‖≤1的实矩阵F，则有

对任意实数 ε>0，

LFE+ETFTLT≤ε-1LLT+εETE；

对任意矩阵P>0和使得εI-EPET>0的实数ε>0，下式成立

（A+LFE）P（A+LFE）T≤

APAT+APET（εI-EPET）-1EPAT+εLLT；

对任意矩阵P>0和使得P-εLLT>0的实数ε>0，下式成立

（A+LFE）TP-1（A+LFE）≤

AT（P-εLLT）-1A+ε-1ETE.

基于以上引理，我们可得到以下主要结果.

2主要结果

定理1若存在矩阵P>0，Q>0，对角矩阵Λ=diag（λ1，λ2，…，λm）>0，R=diag（r1，r2，…，rm）>0，及常数εi>0，i=1，2，3，4，使得以下LMI成立，则系统（1）鲁棒绝对稳定.

Φ=Φ11PBPD+CΛPEPG1PG2PG3PG4

BTPΦ22

DTP+ΛCTΦ33

ETPΦ44

GT1P-ε1I

GT2P-ε2I

GT3P-ε3I

GT4P-ε4I<0，

式中

Φ11=PA+ATP+ε1HT1H1+Q，Φ22=ε2HT2H2-Q，

Φ33=ε3HT3H3-JTΛ-ΛJ+R，Φ44=ε4HT4H4-R.

证明取Lyapunov函数

V（t）=xT（t）Px（t）+2∑mi=1λi∫σi0fi（ξ）dξ+∫tt-τxT（ξ）Qx（ξ）dξ+∑mi=1ri∫tt-hif2i （σi（ξ））dξ，

则V（t）沿系统（1） 的导数

（t）=2xT（t）P（t）+2∑mi=1λifi（σi（t））i（t）+

xT（t）Qx（t）-xT（t-τ）Qx（t-τ）+

∑mi=1ri[f2i （σi（t））-f2i （σi（t-hi））]=

xT（t）（P+TP+Q）x（t）+2xT（t）Px（t-τ）+

2xT（t）Pf（σ（t-h））+2xT（t）（P+CΛ）f（σ（t））-

xT（t-τ）Qx（t-τ）-fT（σ（t-h））Rf（σ（t-h））+

fT（σ（t））（R-JTΛ-ΛJ）f（σ（t））.

由引理2，可得

P+TP≤PA+ATP+1ε1PG1GT1P+ε1HT1H1，

2xT（t）PΔB（θ）x（t-τ）≤1ε2xT（t）PG2GT2Px（t）+

ε2xT（t-τ）HT2H2x（t-τ），

2xT（t）PΔD（θ）f（σ（t））≤1ε3xT（t）PG3GT3Px（t）+

ε3fT（σ（t））HT3H3f（σ（t）），

2xT（t）PΔE（θ）f（σ（t-h））≤1ε4xT（t）PG4GT4Px（t）+

ε4fT（σ（t-h））HT4H4f（σ（t-h））.

因此，有 （t）≤yT（t）Ψy（t），式中

y（t）=xT（t），xT（t-τ），fT（σ（t）），fT（σ（t-h））T，

Ψ=Φ11+P∑4i=11εiGiGTiPPBPD+CΛPE

BTPΦ2200

DTP+ΛCT0Φ330

ETP00Φ44.

由Schur补[8]，Φ<0 等价于Ψ<0.证毕

定理1给出了系统（1）鲁棒绝对稳定的时滞无关条件，下面给出系统（1）鲁棒绝对稳定的时滞相关条件.

定理2若存在矩阵P>0，Ri>0，i=1，2，3，4，对角矩阵Q=diag（q1，q2，…，qm）>0，Λ=diag（λ1，λ2，…，λm）>0，及常数εi>0，ηi>0，μi>0，i=1，2，3，4，使得以下LMI成立，則系统（1）鲁棒绝对稳定.

Τ=

Τ11Τ12Τ13Τ14Τ15Τ16Τ1700

ΤT12Τ2200000Τ280

ΤT130Τ3300000Τ39

ΤT1400-Τ44

ΤT1500-Τ55

ΤT1600-Τ66

ΤT1700-Τ77

0ΤT280-Τ88

00ΤT39-Τ99<0，

式中

Τ11=∑2i=1（τεi+μi）HTiHi+τ（ATR1A+BTR2B）+P（A+B）+（A+B）TP，

Τ12=PD+CΛ，Τ13=PE，

Τ14=PG1，PG2，PG3，PG4，

Τ15=τPG2，τPG2，τPG2，τPG2，

Τ16=τPB，τPB，τPB，τPB，

Τ17=τATR1G1，τBTR2G2，

Τ22=τDTR3D+（μ3+τε3）HT3H3+Q-ΛJ-JTΛ，

Τ28=τDTR3G3，

Τ33=τETR4E+（μ4+τε4）HT4H4-Q，

Τ39=τETR4G4，

Τ44=diag（μ1I，μ2I，μ3I，μ4I），

Τ55=diag（η1I，η2I，η3I，η4I），

Τ66=diag（R1-η1HT2H2，R2-η2HT2H2，R3-η3HT2H2，R4-η4HT2H2），

Τ77=diag（ε1I-GT1R1G1，ε2I-GT2R2G2），

Τ88=ε3I-GT3R3G3，Τ99=ε4I-GT4R4G4.

证明令φ（t）=φ（-T），t∈[-T-τ，-T].因当t≥τ时，

x（t-τ）=x（t）-∫tt-τ（ξ）dξ=

x（t）-∫tt-τ[x（ξ）+x（ξ-τ）+f（σ（ξ））+

f（σ（ξ-h））]dξ.

考虑如下系统：

（t）=（+）x（t）+f（σ（t））+f（σ（t-h））-

∫tt-τ[x（ξ）+x（ξ-τ）+

f（σ（ξ））+f（σ（ξ-h））]dξ，

（t）=CTx（t）-Jf（σ（t）），

x（t）=φ（t），t∈[-T-τ，0]，（2）

由文献[9]可知，若系统（2）全局一致渐近稳定，则系统（1）全局一致渐近稳定.

取V1（t）=xT（t）Px（t），则 V1（t） 沿系统 （2） 求导得：

1（t）=2xT（t）P（t）=

2xT（t）P（+）x（t）-2xT（t）P∫tt-τ（ξ）dξ+

2xT（t）Pf（σ（t））+2xT（t）Pf（σ（t-h））.

由引理1可得：

-2xT（t）P∫tt-τ（ξ）dξ=-2xT（t）P∫tt-τ[x（ξ）+

x（ξ-τ）+f（σ（ξ））+f（σ（ξ-h））]dξ≤

τxT（t）P（R-11+R-12+R-13+R-14）TPx（t）+

∫tt-τxT（ξ）TR1x（ξ）dξ+∫tt-τxT（ξ-τ）TR2x（ξ-τ）dξ+

∫tt-τfT（σ（ξ））TR3f（σ（ξ））dξ+

∫tt-τfT（σ（ξ-h））TR4f（σ（ξ-h））dξ.

由引理2可得：

2xT（t）PΔA（θ）x（t）≤

xT（t）（μ-11PG1GT1P+μ1HT1H1）x（t），

2xT（t）PΔB（θ）x（t）≤

xT（t）（μ-12PG2GT2P+μ2HT2H2）x（t），

2xT（t）PΔD（θ）f（σ（t））≤

μ-13xT（t）PG3GT3Px（t）+μ3fT（σ（t））HT3H3f（σ（t）），

2xT（t）PΔE（θ）f（σ（t-h））≤

μ-14xT（t）PG4GT4Px（t）+

μ4fT（σ（t-h））HT4H4f（σ（t-h））.

由Τ<0知，Ri-ηiHT2H2>0，i=1，2，3，4.因此，由引理 2得：

R-1i T≤η-1iG2GT2+B（Ri-ηiHT2H2）-1BT，i=1，2，3，4.

所以有

1（t）≤xT（t）P∑4i=1μ-1iGiGTi+τ∑4i=1η-1iG2GT2+

τB∑4i=1（Ri-ηiHT2H2）-1BTPx（t）+xT（t）[μ1HT1H1+

μ2HT2H2+P（A+B）+（A+B）TP]x（t）+

2xT（t）PDf（σ（t））+2xT（t）PEf（σ（t-h））+

μ3fT（σ（t））HT3H3f（σ（t））+

μ4fT（σ（t-h））HT4H4f（σ（t-h））+I1+I2+I3+I4，

式中

I1=∫tt-τxT（ξ）TR1x（ξ）dξ，

I2=∫tt-τxT（ξ-τ）TR2x（ξ-τ）dξ，

I3=∫tt-τfT（σ（ξ））TR3f（σ（ξ））dξ，

I4=∫tt-τfT（σ（ξ-h））TR4f（σ（ξ-h））dξ.

取

V2（t）=∫0-τ∫tt+ηxT（ξ）TR1x（ξ）dξdη，

V3（t）=∫0-τ∫tt+η-τxT（ξ）TR2x（ξ）dξdη，

V4（t）=∫0-τ∫tt+ηfT（σ（ξ））TR3f（σ（ξ））dξdη，

V5（t）=∫0-τ∫tt+ηfT（σ（ξ-h））TR4f（σ（ξ-h））dξdη，

V6（t）=∑mi=1qi∫tt-hif2i （σi（ξ））dξ，

V7（t）=2∑mi=1λi∫σi0fi（ξ）dξ.

沿系統 （2） 对Vi（t），i=1，2，…，7求导，得：

2（t）=τxT（t）TR1x（t）-∫0-τxT（t+

η）TR1x（t+η）dη=τxT（t）TR1x（t）-I1，

3（t）=τxT（t）TR2x（t）-

∫0-τxT（t+η-τ）TR2x（t+η-τ）dη=

τxT（t）TR2x（t）-I2，

4（t）=τfT（σ（t））TR3f（σ（t））-

∫0-τfT（σ（t+η））TR3f（σ（t+η））dη=

τfT（σ（t））TR3f（σ（t））-I3，

5（t）=τfT（σ（t-h））TR4f（σ（t-h））-

∫0-τfT（σ（t+η-h））TR4f（σ（t+η-h））dη=

τfT（σ（t-h））TR4f（σ（t-h））-I4，

6（t）=fT（σ（t））Qf（σ（t））-fT（σ（t-h））Qf（σ（t-h）），

7（t）=2fT（σ（t））Λ[CTx（t）-Jf（σ（t））].

由Τ<0知，εiI-GTiRiGi>0，i=1，2，3，4.故由引理2可得：

TR1≤ATR1A+ATR1G1（ε1I-GT1R1G1）-1GT1R1A+ε1HT1H1，

TR2≤BTR2B+BTR2G2（ε2I-GT2R2G2）-1GT2R2B+ε2HT2H2，

TR3≤DTR3D+DTR3G3（ε3I-GT3R3G3）-1GT3R3D+ε3HT3H3，

TR4≤ETR4E+ETR4G4（ε4I-GT4R4G4）-1GT4R4E+ε4HT4H4.

取Lyapunov函数V（t）=∑7i=1Vi（t），则有

（t）=∑7i=1i（t）≤x（t）f（σ（t））f（σ（t-h））TΞx（t）f（σ（t））f（σ（t-h）），

式中

Ξ=Ξ11PD+CΛPE

DTP+ΛCTΞ220

ETP0Ξ33，

Ξ11=T11+P∑4i=1μ-1iGiGTi+τ∑4i=1η-1iG2GT2+

τB∑4i=1（Ri-ηiHT2H2）-1BTP

+

τ[ATR1G1（ε1I-

GT1R1G1）-1GT1R1A+

BTR2G2（ε2I-GT2R2G2）-1GT2R2B]，

Ξ22=T22+τDTR3G3（ε3I-GT3R3G3）-1GT3R3D，

Ξ33=T33+τETR4G4（ε4I-GT4R4G4）-1GT4R4E.

由Schur补[8]知，T<0等价于Ξ<0.证毕

若系统的不确定性参数项范数有界，即不确定性矩阵满足

‖ΔA（θ）‖≤α，‖ΔB（θ）‖≤β，

‖ΔD（θ）‖≤γ，‖ΔE（θ）‖≤δ，

则可假定系統（1）中的相关矩阵如下：

G1=H1=αIn×n，G2=H2=βIn×n，G3=γIn×n，

H3=γIm×m，G4=δIn×n，H4=δIm×m.

同样可分别由定理1和定理2得到Lurie直接控制系统（1）鲁棒绝对稳定的滞无关条件和滞相关条件.

3结束语

本文针对具有不确定参数的滞后型Lurie直接控制系统，在结构参数及范数有界参数情形下，给出了系统鲁棒绝对稳定的时滞无关及时滞相关条件.这些条件用线性矩阵不等式表示，易于用MATLAB中的LMI工具箱求解.

参考文献

References

[1]Liao X X.Necessary and sufficient conditions for absolute stability of Lurie indirect control systems[J].Science in China Series A，1989，32（9）：10471061

[2]Liao X X.Absolute stability of general Lurie control systems[J].Acta Mathematica Scientia，1991，11（1）：112

[3]Liao X X，Yu P.Sufficient and necessary conditions for absolute stability of timedelayed Lurie control systems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，323（2）：876890

[4]Qiu F，Zhang Q X.Absolute stability analysis of Lurie control system with multiple delays：An integralequality approach[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2011，12（3）：14751484

[5]Liu P L.Robust absolute stability criteria for uncertain Lurie interval timevarying delay systems of neutral type[J].ISA Transactions，2016，60：211

[6]Da X L，Cheng C W，Tang B Y.A linear matrix inequality approach for robust control of systems with delayed states[J].European Journal of Operational Research，2000，124（2）：332341

[7]De Souza C E，Li X.Delaydependent robust H∞ control of uncertain linear statedelayed systems[J].Automatica，1999，35（7）：13131321

[8]Boyd S，El Ghaoui L，Feron E，et al.Linear matrix inequalities in system and control theory[M].Philadelphia：SIAM，1994

[9]Hale J，Lunel S M V.Introduction to functional differential equations[M].New York：Springer，1993