微分系统的等价性及其应用研究综述

摘要自Mironenko教授创建反射函数理论以来，人们采用该理论定义了微分系统间的新的等价关系，由此建立了复杂微分系统与简单微分系统、非自治微分系统与自治微分系统的等价性，应用它将复杂系统的几何性态的研究可转化为简单或自治系统的几何性态的研究.经过专家们的共同研究取得了若干极具理论和应用价值的好成果.关键词反射函数；等价性；几何性态；反射积分

中图分类号017512

文献标志码A

0引言

众所周知，研究客观世界中一些物体的运动规律，可归结为研究微分系统

x′=X（t，x），t∈R，x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn（1）

解的定性性态.在一般情况下，微分系统（1）为不可积系统，而实际问题需要我们去研究其解的性态，那只能直接根据函数X（t，x）本身来研究.当系统（1）为自治系统，特别为多项式系统时，其解的定性和稳定性态的研究已经取得了丰富的成果[15].对于一般时变微分系统，其周期解的存在性、个数及稳定性是一个很重要的问题.Poincaré 曾说过：“这些周期解的重大意义在于，它是唯一缺口，通过它我们方可步入那些被认为不可达到的领域.” 当（1）为2ω周期系统时，在研究其周期解的性态的过程中，Poincaré 映射起着很大的作用[68].若φ（t；τ，x）为（1）过（t，τ）的解，则周期系统（1）的Poincaré 映射T可定义为T（x）=φ（τ+2ω；τ，x），τ∈R.由此看来，似乎给我们这样一种错觉，好像也只有在系统（1）的通解表达式已知的情况下，方可找到其Poincaré 映射，其实不然.为了寻找Poincaré 映射，我们可以借助适当的辅助函数，它不是处处等于系统（1）的通解φ（t；τ，x），而仅仅是在超平面t=τ和t=τ+2ω上相等.若这样的函数能找出，那同时系统（1）的Poincaré 映射就找到了.Mironenko在文献[78]中建立了一个被称为反射函数的函数，人们可以借此来建立周期系统的Poincaré 映射，这给研究周期系统解的性态开辟了一条新的道路.应用反射函数理论研究微分系统解的性态，目前国内外已有许多专家在此方面做了深入研究并取得了丰富的结果.Mironenko[78]创建了反射函数理论，并应用反射函数理论研究了微分系统的等价性、奇偶性及系统解的一些几何性态，建立了微分系统的各种等价关系，研究了微分系统积分流型及嵌入系统解的性态[917]；Verecovich[1819]研究了非自治二次微分系统与线性系统的等价性；Alisevich[2021]研究了微分系统具有三角型、线性等特殊类型的反射函数的充要条件；Musafirov[2223]研究了线性微分系统的相关性质，给出微分系统具有指数形式反射函数的充要条件；Maiorovskya[2425]研究了微分系统解的有界性以及具有线性反射函数的二次微分系统；Varenikova[26]研究了非自治二维微分系统与其相应的线性近似方程组的等价性问题，并给出系统边值问题的解的定性性态；Belskii[2728]研究了多项式方程和二次多项式微分系

1反射函数的定义及性质[78]

考虑微分系统（1），假设Xt，x有连续的偏导数，其Cauchy问题的解为φt；τ，x，Ix为解φt；0，x的存在区间.记Ix={t|-t∈Ix}；D={（t，x）|x∈Rn，t∈Ix∩Ix}.

定义1称可微函数F（t，x）=φ（-t；t，x），（t，x）∈D

或者Ft，x=φ-t，tx=φ（-t；0，φ0；t，x）为微分系统（1）的反射函数.

反射函数具有下列性质：

1） 对微分系统（1）的任一解xt，t∈I，t0∈I有 Ft，xt≡x-t；

2）对任一反射函数F有恒等式F-t；Ft，x≡F0，x≡x；

3）可微函数F：D→Rn为微分系统（1）的反射函数，当且仅当，它为偏微分方程

Ft+FxXt，x+X-t，F=0，

F（0，x）≡x（2）

的解.

引理1（基本引理）若Xt+2ω，x=Xt，x，则微分系统（1）的Poincaré 映射Tx可以定义为Tx=F-ω，x=φω；-ω，x，从而系统（1）的解φt；-ω，x为2ω周期解，当且仅当x为方程F-ω，x=x 的解.

2等价性及相关结论

定义2[78]若微分系统

=Yt，x（3）

与微分系统（1）具有相同的反射函数，则称它们是等价的.具有相同反射函数的微分系统称为同一等价类.

定理1[78] 微分系统（3）等价于（1），当且仅当，（3）可表示为

=Y（t，x）=Xt，x+F-1xRt，x-R-t，F，（4）

这里F为（1）的反射函数，R为任意连续可微函数，且保证（4）的右端关于x连续可微.

定理2[78]若微分系統（1）为2ω周期系统，且它与微分系统（3）等价，它们的解在-ω，ω上存在，则系统（1）的2ω周期解与系统（3）满足x-ω=xω的解一一对应.

推论1[78]若微分系统（1）为2ω周期系统，它与（3）等价，且它们的解在-ω，ω上存在，则系统（1）的2ω周期解φt；-ω，x与（3）的2ω周期解ψt；-ω，x相对应.

定理3[78]若微分系统（1）与某一自治系统等价，则该自治系统为=X0，x.

定义3[78]称微分系统

=-（Fx+E）-1Ft（5）

为以F（t，x）为反射函数的最简单系统.

由定理2知，任何以F（t，x）为反射函数的微分系统均可表示为

=-（Fx+E）-1Ft+F-1xR（t，x）-R（-t，F（t，x））.（6）

注1要研究以F（t，x）为反射函數的微分系统等价类中的微分系统解的性态，只需研究该类中最简单系统解的定性性态.由此我们可以用自治系统解的性态去研究非自治系统解的定性性态，用简单微分系统去研究复杂系统解的性态.

问题1如何判定任意两个系统等价？

一般情况下，通过求解偏微分方程（2）以获得反射函数F（t，x）的表达式是非常困难的.但是Mironenko[78]、Alisevich[2021]、Musafirov[2223]、Zhou[2933]等还是做了很大努力，研究了微分系统具有线性、三角型、对称型等各种特殊类型的反射函数的充分条件，并应用他们研究了若干非自治微分系统解的定性性态.

问题2若（1）的反射函数未知，又如何来判定（1）（3）等价？

Mironenko倾注了若干精力，写了4篇文章[1316]回答了这个问题.笔者等[3941]对他们的结果进行了推广.

定义4[39]称满足方程

Δt+ΔxX=XxΔ（7）

的非零解向量函数Δt，x为微分系统（1）的反射积分.

定理4[14]若向量函数Δt，x为（1）的反射积分，则微分系统（1）等价于微分系统

=Xt，x+αtΔt，x，（8）

其中αt为任意连续可微的纯量奇函数.

推论2[14]设Δkt，x为（1）的反射积分，则微分系统（1）等价于微分系统

=Xt，x+∑∞k=1αk（t）Δk（t，x），

其中αktk=1，2，…为任意连续可微的纯量奇函数，且上述微分系统的右端收敛于一个连续可微函数.

注2由定理4看出，要写出与（1）等价的微分系统，只需要求出其反射积分即可.

Belskii[2728]研究了与Riccati方程、Abel方程及一般多项式方程的反射积分和等价性.Zhou等[3341]研究了几类微分系统间的等价性关系，并应用所得结果研究了这类系统周期解的定性性态.

3反射积分的结构

在求反射积分之前，我们先得搞清楚它具有什么样的结构形式.

定理5[27]若Δ（t，x）=∑mi=0ri（t）xi为多项式微分方程x′=∑ni=0ai（t）xi的反射积分，则m=n.

定理6[39]设ui（t，x）（i=1，2，…，n）为（1）的n个独立首次积分，则向量函数Δt，x为（1） 的反射积分的充要条件是，存在连续可微的向量函数α（U）（U=（u1，u2，…，un））使得Δ=U-1xα（U）.

特别地，对于一维（n=1）的微分方程，我们有下面结论：

定理7[39]若函数Δt，x为微分方程（n=1）的反射积分，则μ=1Δ为（1） 的积分因子，且u=∫xx01Δ（t，x）dx-∫tt0X（t，x0）Δ（t，x0）dt为（1）的首次积分.

定理8[39]若函数Δ1t，x为（1）（n=1）的反射积分，则函数Δ2（t，x）也是（1） 的反射积分的充要条件是存在连续可微函数φ使得Δ2（t，x）=Δ1（t，x）φ（u），其中u=u（t，x）为（1）的首次积分.

注3定理7和定理8告诉了我们一个微分方程的任意两个反射积分之间的关系，及反射积分与首次积分及积分因子之间的关系，这意味着求反射积分，不但对研究微分系统的等价性至关重要，同时对研究微分系统的可积性也具积极意义.

例1微分方程

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t（9）

具有两个反射积分：

Δ1=（1+xsin t）21+（1+xsin t）2，

Δ2=（1+xsin t）（2+xsin t）1+（1+xsin t）2x，

则由定理7和定理8知，μ1=1Δ1，μ2=1Δ2为（9）的两个积分因子，u=Δ2Δ1=2+xsin t1+xsin tx为微分方程（9）的首次积分.

笔者在文献 [39]中将Mironenko的定理6进行了深入推广，得到了（1）的更广泛的等价微分系统类，及等价系统的结构形式，并且得到了与自治系统等价的自治系统类，在后面将会看到，这个结论在研究Poincaré中心焦点问题中有着很有意义的应用.

定理9微分系统（3）等价于（1），当且仅当，（3）可表示为

=Xt，x+∑nk=1αk（t，U）Δk（t，x），

其中向量函数Δkt，x（k=1，2，…，n）为（1）的n个线性无关的反射积分，U（t，x）=C为（1）的通积分，且detUx≠0，α（t，U）为连续可微的纯量函数且α（t，U）+α（-t，U）=0.

注4这个定理完全地告诉我们与（1）等价的微分系统的结构形式，及这些反射积分Δkt，x之间的关系.

推论3一阶微分方程（3）等价于（1）（n=1），当且仅当，（3）可表示为

=Xt，x+α（t，u）Δ（t，x），

其中函数Δt，x为微分方程（1）（n=1）的反射积分，且u=∫xx01Δ（t，x）dx-∫tt0X（t，x0）Δ（t，x0）dt为（1）的首次积分，α（t，u）为连续可微的纯量函数且α（t，u）+α（-t，u）=0.

注5这个推论不但回答了与一个一阶微分方程等价的方程的结构形式，同时还揭示了反射积分与首次积分之间的关系.

例2由推论3可得，与微分方程（9）等价的微分方程均可表示为

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t+α（t，u）（1+xsin t）21+（1+xsin t）2.（10）

取α=λu2sin t，方程（10）变为

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t+λsin t（2+xsin t）21+（1+xsin t）2x2，

該方程的通积分为

（1+xsin t）-（c+λcos t）（2+xsin t）x=0，

其中c为任意常数.

4等价性的应用

在微分系统定性理论的研究过程中，中心焦点的判定是一个极为重要的研究课题.焦点量的阶数决定了在微小扰动下奇点邻域内极限环的个数，中心焦点的判别也与研究Hilbert第16问题密切相关.经过国内外数学工作者的不懈努力，二次多项式系统以及一些特殊三次系统的中心焦点问题被解决[4243].虽然，对于平面n次多项式系统，根据Hilbert有限基定理，其中心焦点的判定必定可以在有限步内解决，但是随着阶数的增加，焦点量的计算也就更为复杂，一般的三次微分系统焦点量的计算至今尚未完全解决.目前国内外数学家大多通过将三次系统特殊化来研究某些特殊三次系统中心焦点，并取得一些重要的结论[23，5].

我们知道微分系统

x′=-y+∑nk=2Pk（x，y）=P（x，y），y′=x+∑nk=2Qk（x，y）=Q（x，y），（11）

其中

Pk（x，y）=∑i+j=kaijxiyj，

Qk（x，y）=∑i+j=kbijxiyj，aij，bij为常数.

在极坐标x=rcos θ，y=rsin θ下该系统（11）化为

drdt=∑nk=2Ak（θ）rk，dθdt=1+∑n-1k=1Bk（θ）rk，（12）

其中

Ak（θ）=cos θPk（cos θ，sin θ）+sin θQk（cos θ，sin θ），

Bk（θ）=cos θQk（cos θ，sin θ）-sin θPk（cos θ，sin θ）.

由（12）得

drdθ=∑nk=2Ak（θ）rk1+∑n-1k=1Bk（θ）rk=R（θ，r）.（13）

由文献[4243]知，微分系统（11）以（0，0）为中心，当且仅当，方程（13）以r=0为中心，即，方程（13）在r=0附近全是周期解.我们知道研究（13）是否以r=0为中心，已有若干方法可实施，例如经典的有Poincaré后继函数法、Lyapunov形式幂级数法、不变代数曲线法等[13，5.4243].笔者在文献 [35]中首次介绍了如何应用反射函数法研究中心焦点问题，并阐述了这个新方法与传统方法的优势；在文献[41]中应用这个方法给出了具有一般形式的三次微分系统的中心条件.根据定理2，与微分方程（13）等价的2π周期方程的周期解的个数及稳定性态相同.

设方程（13）以r=0为中心.

1）若我们能求出（13）的反射函数F（θ，r），则与（13）等价的微分方程均可表示为

drdθ=R（θ，r）+F-1r（θ，r）G（θ，r）-G（-θ，F（θ，r）），（14）

其中G（θ，r）为任意连续可微函数.若方程（14）为2π周期方程，且r=0为其解，则方程（14）也以r=0为中心.

2）若我们能求出（13）的一个反射积分Δ（θ，r），则与（13）等价的微分方程均可表示为

drdθ=R（θ，r）+α（，u）Δ（θ，r），（15）

其中α（θ，u）+α（-θ，u）=0，且保证（15）的解存在唯一.

u=u（θ，r）=∫（θ，r）（θ0，r0）1Δ（θ，r）dr-R（θ，r）Δ（θ，r）dθ

为（13）的首次积分.若方程（15）为2π周期方程，且r=0为其解，则它也以r=0为中心.

由x=rcos θ，y=rsin θ，从（14）、（15）分别推得相对应的微分系统：

x′=P（x，y）+cos θ（F-1rG（θ，r）-G（-θ，F（θ，r））），

y′=Q（x，y）+sin θ（F-1rG（θ，r）-G（-θ，F（θ，r））），（14）

x′=P（x，y）+cos θα（θ，u（θ，r））Δ（θ，r），y′=Q（x，y）+sin θα（θ，u（θ，r））Δ（θ，r）（15）

以（0，0）为中心，这里θ=arctanyx，r=x2+y2.

由此看出，从一个系统（11）的中心性质，通过等价性，我们知道了无穷个等价系统（14）和（15）也以（0，0）为中心，而且这些系统也不一定是多项式微分系统，这显示应用反射函数的等价性来研究中心问题具有有别于其他传统方法更有利的优越性.

例3微分方程

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ（16）

具有反射函数F（θ，r）=r1+rsin θ，F（-π，r）≡r，则由引理1，该方程以r=0为中心，

则相对应的三次微分系统

x′=-y+12x2-y2-12y3，

y′=x+32xy+12xy2.（16）

以（0，0）为中心.

又由定理1和推论3和例1知，与（16）等价的微分方程可表示为

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ+（1+rsin θ）2G（θ，r）-

G（-θ，r1+rsin θ），（17）

或

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ+α（θ，u）（1+rsin θ）21+（1+rsin θ）2 ，（18）

这里u=2+rsin θ1+rsin θr.

取G=r2k-1（1+rsin θ）（1+（1+rsin θ）2）k，k≥1，

式（17）变为

drdθ=（r2cos θ（1+（1+rsin θ）2）k-1+

r2k-1（1+rsin θ-（1+rsin θ）2））/

（1+（1+rsin θ）2）k，（17）

则与此相对应的平面系统

x′=-y+12x2-y2-12y31+y+12y2k-1-12kxy（x2+y2）k-1（1+y），

y′=x+32xy+12xy21+y+12y2k-1-12ky2（x2+y2）k-1（1+y）（17）”

以（0，0）为中心.取k=1得三次系统

x′=-y+12x2-12xy-y2-12xy2-12y3，y′=x+32xy-12y2+12xy2-12y3（19）

也以（0，0）为中心.

取α=λu2sin θ，相对应方程（18）的四次平面微分系统

x′=-y+12x2-y2-12y3+12xy（2+y）2，y′=x+32xy+12xy2+12y2（2+y）2（18）

也以（0，0）为中心.

由例3可看出，一旦知道一个系统以（0，0）为中心，同时我们就知道了与此等价的无穷个微分系统以（0，0）为中心.这充分说明研究两个微分系统的等价性的重要性.由前述可知，要研究与（1）等价的微分系统类，关键是求出反射函数或反射积分，而且研究反射积分与研究微分系统的可积性密切相关，目前这方面的工作还不太多，希望有兴趣的同行来研究这些问题.

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