电加热圆管内流动的自然转捩过程研究

张若凌, 乐嘉陵(中国空气动力研究与发展中心超高速空气动力研究所 高超声速冲压发动机技术重点实验室, 四川 绵阳 621000)

电加热圆管内流动的自然转捩过程研究

张若凌*, 乐嘉陵
(中国空气动力研究与发展中心超高速空气动力研究所 高超声速冲压发动机技术重点实验室, 四川 绵阳 621000)

分析了在一个电加热圆管内的自然转捩流动和对流传热。对于圆管内的流动，提出在径向脉动速度不随流动模式变化的假设下，自然转捩流动是充分发展的层流与湍流流动按照比例的合成。采用合成比例来描述该合成流动，合成比例在转捩区间会发生振荡。根据最小熵产生准则得到自然转捩发展演化的方程，其中转捩发展演化的控制因素，是合成比例的振荡。给出了一个与测量结果一致的合成比例的振荡函数，包括圆管内转捩过程的传热实验测量和速度及其脉动统计特性的实验测量。指出圆管内层流向湍流的转捩过程，可以与热力学平衡系统的连续相变过程进行比较，并且在电加热圆管内的流体，其速度和温度可以有相似和独立的转捩演化过程。

转捩流动；振荡；流动合成；最小熵产生

0 引 言

不可压缩和可压缩流体的层流向湍流的转捩过程，对许多应用来说十分重要。对于圆管内的低速轴对称流动，详细的测量研究被不断重复了100多年，文献[1]对其中一些进行了综述。

为进行超燃冲压发动机的冷却设计，多年来碳氢化合物在电加热圆管内的流动和传热引起了一些兴趣[2-3]。如图1所示，当电流在管壁内流过时，电流和管子电阻相互作用会产生热量。处于超临界压力下的一定流量的正十烷(n-Decane)在管内流动时，会与内壁面发生近似恒定热流的对流传热，能够模拟碳氢燃料在一根燃烧室冷却通道内的流动和吸热。正十烷吸收热量后温度升高，导致密度ρ和粘性系数μ降低。在合适的流量、管径di和电流条件时，处于超临界压力下的正十烷在电加热圆管中建立定常流动，并且由图2看出，流动的雷诺数Re(即ρUdi/μ，此处ρ,U和μ为截面平均值)可以自入口的886增加至出口的15 000。

通过调节管子的电流来控制管壁的热流，可以使流体的温度自室温升高至800K左右的高温。流体的一些热物理性质，例如密度ρ、粘性系数μ和热传导系数k，在出口处其数值较入口处会下降较多。在图2中，不同温度和压强下正十烷的ρ、μ和k采用一个高温碳氢化合物的物性程序计算得到。

众所周知，圆管内流体的流动在雷诺数Re约为2300时会发生转捩[4]，因此在管内可以发生完整的自然转捩过程。管内的层流是线性稳定的，即使Re很高时也需要有限振幅的扰动才能引发转捩。转捩的起始Re和结束Re与实际的流动条件相关，取决于管内流动的扰动，并且强迫转捩的起始Re和结束Re与自然转捩大不相同。

1883年雷诺在转捩流动实验中发现湍流的闪斑(Flash)。随后在圆管内的流动转捩研究中，长期以来人们观测到2种扰动流动(Disordered flow)，分别被称为Puff和Slug[1,5]。在这2种扰动流动内部，既不是层流也不是完全湍流，用间歇性或者间歇因子来描述转捩流动是不够的。在很宽的雷诺数范围内，这些特殊状态的扰动流动和典型湍流之间的关系，至今不明。自1883年雷诺初始的实验至今没有确立公认的理论来解释层流向湍流的转捩过程[1,5]，圆管内流动转捩的本质仍然是流体力学中的未解之谜。对于转捩过程中的对流传热特性也没有理论解释。

层流向湍流的转捩，很早就被看作是非平衡热力学系统的一种相变[6]。序参数(Order parameter)常用来描述相变(如正常导体变为超导体)，接近相变点时序参数发生振荡。层流向湍流的转捩过程中发现了很大的振荡(或脉动、涨落，Fluctuations)[5,7]，但是采用非平衡相变观点来进行的讨论不多。

在圆管内的转捩流动中，速度的随机振荡具有一定的统计特性[5]。这种振荡的统计特性随着Re数增加的演变过程十分重要，即使已知转捩流动的起始Re和结束Re。本文尝试解释在电加热圆管内流动转捩的起始和终止之间振荡统计特性的发展演化，并解释这种振荡统计特性对流动和对流传热的影响。采用的方法包括3个步骤。在第一步中，先给出求解管内层流和湍流的方程，然后假定在转捩流动中沿半径方向脉动速度的数值与湍流流动一样，把转捩流动分解成层流和湍流成分，即转捩流动是相同雷诺数下成层流和湍流2种流动的合成，合成比例用来定义这种合成流动。在第二步中，对于转捩流动引入合成比例的振荡，采用最小熵产生准则给出一个方程，来描述合成比例振荡的统计特性和转捩的发展演化。在最后一步中，在给出一些层流向湍流的转捩和相变的相似性后，给出一个合成比例的振荡函数，并与传热和流动测量实验结果进行对比。

1 求解速度和温度的定常层流方程

从图2可以看出，在出口处密度ρ和热传导系数k下降至大约为入口数值的50%。在出口处粘性系数μ下降至大约为入口数值的6%。因为质量流量和管子内径di不变，造成在出口Re增加至约17倍的入口数值。

在如图2所示的条件下，Re自入口的886连续增加至出口的15 000。自然转捩起始于位置x≈0.26m，约等于180倍管子内径di(1.42mm)，在该处Re≈2300。对于对流传热(温度)来说，自然转捩终止于位置x≈1.05m，在该处Re≈10 000[8-9]，转捩长度约等于740di。文献[5]的测量结果说明，流动(速度)的转捩区间(终止雷诺数与起始雷诺数之差)要小得多。对于本文感兴趣的情形，流动的转捩长度大约100di。在管子入口x=0之前，有比500di还长的一段管子，与图1所示的加热部分属于同一根管子。在下文中，从转捩开始直至出口的流动，均认为在流动和传热上得到了充分发展。

对于该圆管内充分发展的轴对称流动，每个截面上的参数可以由平均速度、平均温度和边界条件(如管壁处的热流和零速度)来确定。本文研究的电加热圆管长度约为1000di，且管壁热流数值不是很高。当研究一个截面上的流向速度u和流体温度T分布时，可以不考虑一些物理量沿着轴向坐标x方向的变化。理由是：与u和T沿着半径r方向的变化相比，这些物理量沿着x方向的变化很小。下文中，在每一个截面位置进行求解时，u和流体物性如μ和k等均假定不随x方向变化，仅考虑T和压强p随x的变化。在每一截面，u和ρ是沿半径方向位置r的函数。整个管内的流动通过求解每一个截面位置的流动参数而确定。

实际上，在管子的入口和出口流体物性μ和k的差别很大。尽管如此，μ和k沿着x方向的变化对于u和T的解影响不大，因此在下文中没有用到μ和k对x的导数。这与管子的长径比很大并且管壁热流不很高是一致的。在求解每一个截面位置的流动参数时，采用的是与当地T和p对应的当地μ和k。

对于管内的轴对称层流，采用图1所示轴向坐标为x和径向坐标为r的坐标系，速度u满足[4,10]:

有传热时的热充分发展的管内定常层流流动，传热引起的温升远大于粘性摩擦引起的温升。按照文献[4]的做法，忽略粘性摩擦和轴向传热引起的温度变化，有:

对于恒定壁温的情形，可以使用变量分离法把温度表示成两部分的乘积，一部分随x变化，一部分随r变化。对于近似适用于本加热管道的恒定热流的情形，可以令:

随x变化的部分代表管壁加热引起的沿x方向的平均温升，随r变化的部分代表管壁加热引起的径向温度分布(剖面)。(2)式变为:

这里忽略了径向速度，根据质量平衡方程，乘积ρu不随x变化，因此(4)式可以分为2个可以积分求解的方程。在壁面有传热发生时，传热会引起μ、k和cp变化，因此求解速度和温度分布的方程(1)和(2)是耦合的。这种耦合是通过温度和压力影响物性(μ、k和cp)而发生的，属于较弱的耦合。

流体由大量分子组成，分子间不停发生碰撞。这些碰撞不会使动量或者能量产生或者消失，因此采用守恒变量时动量和能量平衡方程没有源项。但是在处于非平衡态的流体内部，与分子频繁碰撞相伴而生的是耗散过程，流体通过耗散过程来改变非平衡分布从而向平衡态靠近。因此对于处于非平衡的流体流动系统，熵的平衡方程有源项，表征着耗散过程中熵的产生。由于温度和速度梯度引起的熵产生为[6,10-11]:

v)s∶(

(

实际上，(2)式忽略了粘性摩擦和轴向传热引起的温度变化，因此(5)式中第二项可以忽略，第一项中可以忽略沿轴向的微分，以此来与(2)式一致。尽管如此，下面在讨论熵产生时仍然保留这些项。将会看到这种保留不影响结论。

(5)式第一项在柱坐标系中的表达式为:

(5)式第二项的表达式为:

v)s∶(

在(7)和(8)式中，下标T、X、Θ和V分别表示由对应物理量的梯度引起的熵产生，V表示速度。可以看出，熵产生包含温度和速度梯度的平方项。

流体的流动方程也称为NS方程。在所考虑的方程中，广义流(如应力张量)与广义力(如张量v)的关系是线性的[6]。层流中的流体微元处于非平衡状态，其中的耗散输运过程引起熵增。对于非平衡系统，在广义流与广义力关系是线性的区域内，Prigogine最早指出最小熵产生对应的状态是一个定态[6]。最小熵产生准则与适用于平衡系统的最小自由能准则相对应。最小自由能准则常用于处理平衡系统的相变特性，著名的Ginzburg-Landau相变理论就是利用这个准则来处理连续相变的一个平均场理论，认为自由能是序参数的解析函数[6,12-13]。

2 求解速度和温度的定常湍流方程

对于热充分发展的管内定常湍流流动，有：

(9)和(10)式等号右边第一项与层流流动的耗散项一致。对于充分发展湍流，求解速度和温度的方程可以改写为：

由于层流和湍流均遵从NS方程，因此对于充分发展湍流，分别以瞬时温度和速度代替(5)式中的层流温度和速度，可以得到由于温度和速度梯度引起的熵产生的平均值为：

式中：下标Turb表示湍流，下标T和V的意义与(7)和(8)式中的相同。忽略分子和分母统计相关性的影响时，(15)式第一项在柱坐标系中的表达式为：

其中：

(15)式第二项在柱坐标系中表达式为：

其中：

在(16)～(18)式中，下标X和Θ的意义与(7)和(8)式中的相同。在(19)～(21)式中，下标u和v表示对应速度分量引起的熵产生。

3 在定常转捩区间求解速度和温度的方程

比较层流和湍流的求解速度和温度的方程(1)、(2)、(9)和(10)式，如果认为对于层流流动，流向速度和温度的脉动量为0，则2种流动遵从形式上完全相同的方程。

其中，下标Tran表示转捩。对于x方向的动量有：

(23b)式是层流与湍流的动量方程的结果。(23)式中，变量上方无“-”的表示层流量，变量上方有“-”的表示湍流量。

恒定热流情形下的温度方程为:

(25b)式是层流与湍流的壁面热流相同的结果。与(23a)式一样，在(25a)式中对每一截面位置处求解时忽略η沿着x方向的变化。

4 圆管内自然转捩流动中的振荡

要确定自然转捩如何发展演化，必须给出η的动力学方程。记转捩起始雷诺数为ReL，记转捩终止雷诺数为ReR。对流传热实验发现，对于充分发展的圆管流动，转捩在ReL≈2300时开始，在ReR≈10 000时结束[8-9]。关于流速振荡的测量结果说明，流动的转捩区间要小得多[5]。转捩开始和终止的精确位置，与实际的流动条件相关。这里仅对圆管内的转捩流动在起始和终止雷诺数之间的发展演化以及这种发展演化对流动和对流传热特性的影响感兴趣。

代入(22)和(24)式得到:

在转捩区间流动遵从全NS方程，因此其熵产生的方程与(15)式相同。(28)和(29)式代入(15)式，应用(30)式整理后可得:

对于恒定壁温的情形，也可以推导出(33)式。在温度方程中忽略的摩擦项和轴向传热项，无论在熵产生方程中是否保留，均不影响(33)式的成立。

5 一个振荡函数和与实验现象的对比

层流向湍流的过渡和平衡系统的连续相变(Landau所谓的第二类相变[13])，二者宏观特性非常相似。它们均具有一个振荡剧烈的临界区间。在此区间前后，系统的行为显著不同。在此区间内系统的微观特性对其行为的影响不大，不同系统的表现大致相似。在层流向湍流的过渡这个过程中，系统的行为特性发生了显著转变，正如文献[6]中所述，这种流动转捩属于一种非平衡系统的相变。相变可以采用序参数来描述。通常认为，很多关于平衡相变的认识可以推广到非平衡情形[14]。如果用序参数来描述圆管内层流向湍流转捩这一非平衡流动系统的相变，则这里自然转捩过程的序参数应当是η或其线性函数。

对于热力学平衡系统中发生的连续相变过程，文献[13]讨论了序参数的振荡。靠近相变点时存在一个很窄的温度区间，其间热力学函数的物理本质主要来源于序参数振荡的反常增加。这个区间被称为振荡区间，序参数的振荡占据统治地位。

由于不考虑序参数的振荡，Ginzburg-Landau相变理论不适用于振荡区间[12-13]。在此区间，热力学势不能仅仅展开成序参数(和其空间导数)和其他热力学变量的函数。在(31)式中引入了η的振荡。推导(33)式的过程，在对待序参数的处理方式上与Ginzburg-Landau理论的精神一致，也就是说，在通过对热力学势求极值来确定序参数时把它看成是与热力学变量地位相同的独立变量[13]。

(33)式是采用最小熵产生准则得到的结果，其中不包含任何细致的层流或时间平均湍流的剖面信息。这与相变的临界现象一致。靠近临界点时，系统的微观性质不影响系统的热力学行为，完全不同的系统可以有许多相似的性质[12]。(33)式表明，在层流向湍流的转捩过程中，转捩的发展演化，与层流剖面和时间平均的湍流剖面均无直接关系。

满足这些条件的解为:

Fig.3 Outer wall temperature andNucomparisons in an electrically heated tube test

这里给出的转捩区间内大的振荡，能够解释文献[7]中提到的“奇怪效应”(Strange effect)。在管道流动实验中，流速达到某个数值时，雷诺数也达到一个临界数值，压力计的读数开始剧烈震荡。这种现象在一个速度范围内一直持续，直到流速达到某个数值压力计的读数重新回到平稳状态，随后一直保持平稳。

在流动实验中可以沿着中心线对它们进行测量，并与上式的预测值进行对比。

Fig.5 The large overshoot ofIat the center line in transition region

图6是图5的不同形式。在图6中，y轴变为对数坐标且x轴进行了平移和收缩处理，使得容易与文献[5]的测量结果进行对比。图6中曲线的形状和数值，均与文献[5]中图3、5和10在ReL大于4000时的测量结果相接近(实验数据难以取出与计算值进行比较)。轴向速度脉动过冲的测量，在文献[16]和[17]中也有详细报道。文献[5]还报道，这种轴向速度脉动的过冲现象，没有导致摩阻系数(应是时间平均值)的过冲。本文推导也能够解释这种现象。

图6 中心线上轴向速度脉动强度的大的过冲，可以与文献[5]中的测量结果进行对比

Fig.6 The large overshoot ofIat the center line in transition region(both the shape and values can be compared with the measurements in reference [5])

Fig.7 The calculated and measured mean values of longitudinal velocity at the center line

Fig.8 The calculated and measured mean values of the fluctuations of longitudinal velocity at the center line

(33)式的成立使得(32)式为0，此时(31)式为：

在转捩区间合成流动由η描述。(34)式确定的是在转捩区间η的振荡，由(34)式得到的(38)式确定的是具体的转捩行为。不同的(34)式可以得到不同的(38)式。从上述与实验现象的对比可以看出，转捩过程中流体的振荡统计特性和流动及传热行为，可以用运动合成、合成比例的振荡和最小熵产生准则进行解释，并且η的振荡控制着层流向湍流过渡的自然转捩行为。

最后，如果对于温度采用不同的η，可以得到相应的熵产生方程，其形式与(31)式相似。由于温度和速度方程之间仅仅具有弱耦合关系，并且在熵产生表达式中温度梯度的平方项和速度梯度的平方项是独立的，因此这种处理对上述讨论不会带来大的改变。对于速度和温度来说，不同的η允许相似和独立的转捩过程。

6 结 论

流体在电加热圆管内自然转捩过程中的振荡统计特性和流动及传热行为，可以用层流和湍流2种流动模式的运动合成、合成比例的振荡和最小熵产生准则进行解释。

(1) 在自然转捩区间流动是充分发展的层流与湍流2种模式的流动按比例的合成。合成流动由2种流动模式的合成比例描述。

(2) 在层流向湍流过渡的转捩过程中，合成比例会发生振荡，并控制层流向湍流过渡的自然转捩行为。 (3) 在电加热圆管内的流体，其速度和温度可以有相似和独立的转捩过程。

(4) 圆管内层流向湍流的转捩过程，可以与热力学平衡系统中发生的连续相变过程进行比较。描述后者的序参数和振荡区间等概念，可以在流动转捩研究中采用。

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(编辑：李金勇)

Natural laminar-to-turbulent transition inside an electrically
heated circular tube

Zhang Ruoling*, Le Jialing

(Science and Technology on Scramjet Laboratory, Hypervelocity Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang Sichuan 621000, China)

The natural laminar-to-turbulent transitional flow and convective heat transfer inside an electrically heated circular tube are analyzed. It is proposed that the transitional flow can be decomposed into the fully developed laminar flow and the turbulent flow, under the assumption that the fluctuating velocity in the radial direction does not change with varying flow modes. The composite ratios are adopted to define the composite flow, and they fluctuate during the flow transition. The minimum entropy production criterion is used to derive an equation which can describe the evolution of the transitional flow. It is deduced that the transitional behavior is governed by the fluctuations of the composite ratios. One fluctuation function is given to attain agreements with measurements including those obtained in heat transfer and flow experiments. It is pointed out that the process of the laminar-to-turbulent transition inside the tube can be compared with continuous phase transitions in a thermodynamic equilibrium system, and similar and separate processes for the transitions of the velocity and temperature inside the tube can be allowed.

transitional flow;fluctuations;composition of flows;minimum entropy production

2016-01-29;

2016-10-13

ZhangRL,LeJL.Naturallaminar-to-turbulenttransitioninsideanelectricallyheatedcirculartube.JournalofExperimentsinFluidMechanics, 2017, 31(2): 51-60. 张若凌, 乐嘉陵. 电加热圆管内流动的自然转捩过程研究. 实验流体力学, 2017, 31(2): 51-60.

1672-9897(2017)02-0051-10

10.11729/syltlx20150024

V211.1

A

张若凌(1973-)，男，湖北钟祥人，研究员。研究方向：超燃冲压发动机的主动冷却结构设计、计算流体力学和高超声速空气动力学。通信地址：四川省绵阳市二环路南段6号1902信箱(621000)。E-mail：zhangruoling@cardc.cn

*通信作者 E-mail: zhangruoling@cardc.cn