思维在操作中得到放飞

李蓉

在人教版数学教材五年级上册多边形面积单元中，有一道特别有趣的思考题。如下：

（1）右图是用手工纸剪的一棵小树，它的面积是多少？（单位：cm）

（2）用一张长45cm、宽21cm的手工纸，能剪几棵这样的小树？

一、题目的背景

新课程在空间与图形板块安排了丰富的教学内容，而“位置”“图形的拼组”“观察物体”“图形与变换”这些内容都是新增的，学生学习时存在一定的困难。此题涉及图形拼组的知识，为了加深对图形的理解，学生需要在课堂上动一动手。尤其是解决第二问，如果采用画草图、剪小树等直观手段，学生可以打开思路，得到多样的算法。

二、题目的分析

此题综合性非常强，第一问是考查学生灵活运用基本图形面积计算公式的能力，第二问则是考查学生能否将面积计算的知识运用于生活实际，这是本题的难点。很多学生会用大图形面积除以小图形面积的思维定势来解决，而答案不是这样的。要很好地解决第二问，就必须提供充足的操作材料和时间，让学生通过动手操作开阔思路，活跃思维，使思考更深刻。

三、题目的解决

第一问的解答并不难，就是计算要细心，因为图形中的信息非常多，学生容易漏看或错看（如将长方形的长看成9厘米），还要熟记基本图形的面积计算公式。教师可以让学生说说这棵小树是由哪些基本图形组成的。学生通过观察知道此图由一个三角形、两个梯形和一个长方形组成。由于学过组合图形的面积计算，学生的方法可以有多种。

第二问的解答，不要急于给学生操作材料和答案，而是要让学生先独立尝试。上课时，果然不出我所料，有学生很快就计算完了。

方法1：45×21÷48.6≈19（棵）。

课件出示图1，老师问学生：都同意吗？学生表示都同意。老师质疑，指出树干左右两边空白的部分还能再剪小树吗？学生有的说不能，零零碎碎不能再用；有的建议拼起来再剪；有的则反驳不能拼起来再剪。

这时，有很多学生指出方法1有问题，除了小树的面积，旁边的空白部分因为被剪成了零零碎碎的，不能再剪成小树了。老师肯定了学生的想法，提出小树是不规则的图形，不能简单地用大长方形面积除以小树的面积，并提问：“那应该怎么去想呢？”

学生想到先算一棵小树所占的长方形的面积，再除。

方法2：小树的高有3+3+3+6=15（厘米），宽有4+4=8（厘米），45×21÷（15×8）≈7（棵）。

师：这个结果大家都同意吗？

通过刚才的分析，学生们对这个结果还是不敢肯定。有学生提出，如果有一棵这样实际大小的小树让他在纸上摆一摆就好了。学生由于之前练习过的内容都是规则图形，且适合大图形面积除以小图形面积得到结果。而此题采用常规思路不合适。这时如果用实际大小的长方形纸和小树摆一摆，学生能更直观地认识大图形与小树之间的关系。于是，我趁热打铁，让学生们拿出信封里的若干棵小树和手工纸（如题所述的大小），2人一组，一人摆，一人贴，再列出算式，看一张手工纸能剪多少棵小树。

一段时间后，我收集好学生的作品，讓他们到讲台上逐一汇报。

学生汇报小树竖着摆（如图2所示），得到算式：45÷8=5（棵）……5（厘米）。

学生质疑：上面部分和右边部分都不能剪了，很浪费。认为要把小树横着摆（如图3所示）。得到算式：手工纸的长可以排45÷15=3（棵），手工纸的宽可以排21÷8=2（棵）……5（厘米），一共能剪3×2=6（棵）。

讲到这里，学生已经基本明白不能简单地用手工纸的面积除以小树的面积，而是要考虑实际的排列，认为方法1和方法2不对。这时有学生质疑：如果对小树进行交叉颠倒摆放，是否会剪得多些呢？

学生动手尝试交叉颠倒摆放，发现手工纸的宽可以排1棵，长可以排8棵，用去4×8+4×2=40（厘米），剩下45-40=5（厘米），再剪一棵树要8厘米，就不够了（如图4所示）。

有学生在图3基础上得到图5这样的排法，因为宽还多5厘米，可以在中间插入2棵，所以一共可以剪：3×2+2=8（棵）。

还有学生按图6这样排，发现最多可以排9棵。两棵树交叉放，高是15+6=21（厘米），宽排出2棵；长方形的长排出45÷8=5（棵）……5（厘米），共9棵。

孩子们的智慧是无穷的，只要教师适时挖掘，就会有令人惊异的效果。这时，老师问：通过刚才的拼摆，怎样剪才能剪出更多的小树呢？学生思考，师生一起小结：合理安排空间，交叉剪。

孩子们受到启发，有个学生回家思考后，竟摆出了10棵（如图7所示）。

其实，仔细阅读题中的问题“能剪出几棵这样的小树？”我们发现这里问的是几棵并不是最多几棵。可见此问题是开放的，体现解决问题策略的多样化。对此，老师针对不同学生可以有不同的要求，5棵、6棵、8棵、9棵、10棵都是应该获得支持的答案。而对于“45×21÷48.6≈19（棵）”和“45×21÷（15×8）≈7（棵）”的方法则需要引导、纠正，因为这是对剪拼图形片面的认识。尽管是思考题，5棵、6棵还是应作为全体学生的基本要求。至于交叉摆放节省空间，这在生活中有广泛的应用，应该让学生通过具体操作进行体验。所以，引导学生思考了，懂得了如何巧妙利用空间的基本原理，可以为以后的几何学习奠定良好的基础。

（作者单位：长沙市芙蓉区东郡小学）