数学应让学生学会思维（下）

五、努力提升学生的思维品质

相对于各个具体数学思想与数学思想方法的学习而言，我们应当更加重视学生思维品质的提升，包括思维的清晰性与严密性（合理性），思维的深刻性与全面性，思维的综合性与灵活性，以及思维的创新性。容易想到，这事实上也可被看成这样一个立场的具体体现，即我们应当超出数学，并从更为一般的角度认识数学思维教学的意义。

第一，由以下论述我们可更好地认识努力提升学生思维清晰性、深刻性、全面性与合理性的现实意义。

“中国人，赶时间。最爱‘快进，狂点‘刷新。评论，要抢‘秒发。寄信，最好是特快专递。拍照，最好是立等可取。坐车，最好是高速铁路、磁悬浮。坐飞机，最好是直航。做事，最好是名利双收。创业，最好是一夜暴富。结婚，最好有现房现车。排队，最好能插队，若不能，就会琢磨：为什么别人排的队总比我的快呢？”

“静心思量，在教育行业内部，我们不是也存在着诸多的急躁行为吗？学校要办最大的，教学楼要最新的，设备要最现代化的，教育思想要最前沿的，教学实验最好马上出成果……”（白宏太，“回归传统，回到人本身”，《人民教育》，2010年第23期）

特殊地，从上述角度我们显然也可更好地理解数学中明确提倡长时间思考的积极意义。从而，我们在课堂中也就不应过多地宣扬“看看谁已经做出来了”，而应表现出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”

更为一般地说，这事实上也就直接关系到教育的这样一个本质：教育是慢的艺术。（张文质）

这也是现代人的普遍性弊病，即过于任性，思想又往往过于肤浅、过于片面……

“现代人将浮浅当作时尚，把信息当作知识，把知识当作智慧。许多人日夜在网上泡着，四处收集新闻热点，仿佛天下大事尽在心头。可是你仔细听听，却发现他嘴里没有一句是他的话……”（辛泊平，《杂文月刊》，2008年第6期）

与此相对照，以下事实即可被看成十分清楚地表明了数学在这方面所能发挥的重要作用：

这是国际数学教育委员会（ICMI）组织的一项专题研究所得出的一个具体结论：“从中小学课程中，儿童们认识到他们所做的大多数事情是凭个人见解来判断的，文章的质量、绘画质量或外语发音的好坏都是如此。甚至明显是以事实为基础的学科，如历史，也只得不予深究地加以接受。只有在数学中可验证其确定性。告诉一个小学生第二次世界大战持续了十年，他会相信；告诉他两个4的和为10，就会引起争论了。孩子们借助已有的数学能力，能知道什么是对的，什么是错的，还能自己验证，即使有时并没有要求他们这样做。”（《国际展望：1990年代的数学教育》，上海教育出版社，1990，第79页）

第二，除去清晰性、深刻性、全面性与合理性以外，我们还应十分重视学生思维的综合（整体）性与灵活性。这也就是指，后者同样应当被看成提升学生思维品质十分重要的方面。

事实上，这也是现代社会的一个常见现象，即人们往往只注意了对各个细节的考察，却忽视了对对象的整体性把握。例如，后者显然就正是所谓的“知识碎片化”的主要症结所在。

与此相对照，由法国著名科学家、数学家彭加莱的以下论述我们即可很好地理解数学学习为什么与思维的整体性密切相关：

“一个数学证明并不是若干三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感觉到，也可以说，直觉到这个序，以至于我一眼之下就领悟了整个推理，我就再也不必害怕会忘掉任何一个元素，因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我付出任何记忆上的努力的。”（《科学的价值》，光明日报出版社，1988，第376页）

当然，严格的数学证明已经超出了小学数学教学的范围。但是，这难道不也正是小学数学算术应用题所能发挥的一个重要作用吗？（对此可见另著《小学数学概念与思维教学》，江苏教育出版社，2014，第7.6节）

另外，正如我国旅美学者马立平博士所指出的，思维的灵活性也是我们能否真正做到对数学知识的深刻理解的又一要素（另外两个要素即是上面提到的深度和广度）。当然，又如她所使用的“完整度”这一术语所清楚地表明的，除去灵活性以外，这也包含有整体性的含义：

“深度和宽度依赖于完整度———贯穿某一领域的所有部分的能力———把它们编织起来。”（《小学数学的掌握和教学》，华东师范大学出版社，2011，第115-116页）

在此还应强调这样一点：相对于现今人们经常提到的多元性而言，这里所说的整体性与灵活性可被看成提出了一个更高的要求。这也就是指，我们不仅应当清楚地认识世上很多事物和现象都有多个不同的方面，从而，我们应当从多个不同的角度对此进行研究，包括考虑到各种可能的情况，而且应通过所有这些方面的综合分析與适当整合获得更深层次的认识，包括根据不同的情况与需要在这些方面或不同成分之间作出灵活的转换。

例如，从上述角度分析，我们显然可更好地理解数形结合这样一个原则，包括现实中还应注意超出数和形这样两个方面，并从更多的方面去从事数学的分析与研究，如实物操作、现实原型、符号语言，等等。

第三，相对于各种关于创新性的泛泛之谈，我们显然应当更为深入地研究什么是实现创新的必要条件或有效途径，包括清楚地认识到这样一点：创新不应简单地被等同于与众不同，而是主要表现为已有工作的不断优化，包括不同意见的适当整合。

由于优化事实上也可被看成数学学习的本质（[10]第三部分），从而也就十分清楚地表明了数学在这方面所发挥的重要作用。

当然，就数学教育乃至一般教育领域的现实情况而言，我们又应特别提及这样一个现象，即对于国外最新思潮的盲目追随：“本次课改在文本解读和宣传的过程中，人本主义、建构主义、后现代主义等思想一直居于上风，‘概念重建的声音比较响亮，似乎成了‘十年课改的时髦的理论观点。”（张荣伟，“我国基础教育‘十年课改的反思”，《课程·教材·教法》，2010年第12期）显然，这也就更为清楚地表明了我们决不应将创新简单地等同于标新立异。

进而，也正是从上述角度分析，笔者以为，我们应将一定的批判性看成思维品质的又一重要内涵。当然，我们在此又应特别重视批判性与继承性之间的辩证关系。这也就如吴文俊先生所指出的：“有了陈，才有新，不能都讲新，没有陈，哪来的新！创新是要有基础的。只有了解得透，有较宽的知识面，才会有洞见，才会有底气，才会有创新。”（《文汇报》，2004，11，14）

最后，还應强调的是，上面所提到的各个思维品质不应被看成互相孤立的。恰恰相反，我们应当高度重视它们之间的密切关系。而这事实上也可被看成理性思维最为重要的一个内涵，或者说，应成为我们努力追求的一个更高目标：我们不仅应当帮助学生逐步学会理性地思维，也应促成他们由理性思维逐步走向理性精神，从而真正成为一个高度自觉的理性人。

也正是基于这样一个认识，笔者愿意引用著名数学史学家克莱因的以下论述以结束全文，更希望大家都能在这一方面做出切实的努力：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度；亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在提出的问题，试图努力去理解和控制自然，试图尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”（M.Kline，Mathematics in Western Culture，George Allen and Uuwin Ltd.，1954，前言）

（作者单位：南京大学哲学系）

参考文献

[1]顾明远.核心素养：课程改革的原动力[J].人民教育，2015年第13期.

[2]《人民教育》编辑部.核心素养：重构未来教育图景[J].人民教育，2015年第7期.

[3]郑毓信.关于核心素养的若干思考[J].小学数学教师，2016年第1期.

[4]马云鹏.小学数学核心素养的内涵与价值[J].小学数学教育，2015年第5期.

[5]郑毓信.从整合数学到整合课程[J].小学数学教师，2016年第2期.

[6]郑毓信.聚焦数学核心素养[J].小学数学教师，2016年第3期.

[7]郑毓信.数学与思维之深思[J].数学教育学报，2015年第1期.

[8]林福来.主动思考———贴近数学的心跳[J].开学文化（台湾），2015.

[9] H.Ginsaberg，“Tobys Math”，载R.Sternberg等主编.The Nature of Mathematical Thinking[M]，Lawrence Erlbaum Associates，1996.

[10]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.