《选修4—4极坐标与参数方程》教学中的几个问题

曹志栋

笔者在选修4-4的教学过程中遇到一些难点与疑点问题，经过深入思考研究并在教学实践中加以解决。

1 圆的参数方程中的范围为什么没有进行限制

从圆的参数方程推导过程中可以看出，表示的几何意义应该为点M从初始点M0按逆时针方向旋转转过的角度，故应该在之间[0，+∞），但课本上却只写了个为参数，这意味着，但在课本24页上却又出现了另外一句话：建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。那么的范围到底应该是什么呢？

根据曲线参数方程的定义，圆的参数方程与圆应该具有两方面的对应，一方面由数到形，对于参数的每个取值所确定的点都要在圆上，这显然是可以做到的，另一方面有形到数，对于圆上每个点的坐标都能够找到与之对应。也是显然满足上述定义的，故其为圆的参数方程是没有问题的。

那么的范围可不可以有其他限制呢？答案是肯定的，如果不考虑参数的几何意义，可以是（-∞，+∞），也可以是，还可以是等等，只要满足参数所在区间包含一个周期即可，这样就能保证圆上任一点有确定的与之对应，而的每一个取值所对应的点都在圆上是显而易见的，故以上所列举的范围都能满足曲线参数方程的定义。

而R显然可以使参数方程具有更广泛的应用性，所以选择R，但是在具体使用的过程中，我们应尽可能的简单，比如圆上位于第一象限的点我们就有多种限制方式，但我们选择比较简约的，这样以后设计到角的范围及角的三角函数就比较简单一点。这里的普适性与特殊性都是为了更方便的应用参数方程解决问题。

2 参数方程化为普通方程后是只写x的范围还是应该把两个变量：x和y的范围都写出来

如：，其化为普通方程后得到，若只限制x范围，则，故由普通方程所得曲线应该是一个半圆，而实际上由参数方程可看出其表示的曲线应该是1/4圆，是单位圆的一角。故由参数方程化为普通方程应该是两个变量的范围都得写，但当两范围在普通方程下满足一致性时，即：将x的范围带入普通方程所求出的y的范围与通过参数方程求出的y的范围一致，这是我们就可以只写x的范围，这样可以体现简约性。

那么是不是任意参數方程化为普通方程后都能满足上述意义下的范围一致性？答案是否定的，如上例中，由参数方程可得y，但由转化后的普通方程与x的范围能得到的y的范围应该是。

那何时能够保持一致性呢？在由参数方程求Y的范围时，y的范围由参数决定，而有普通方程求y的范围时，y的范围由x决定，要使其保持一致，只需要变量x的范围与参数的范围必须等价，而在上例中x[0，1]与是不等价的。

3 直线参数方程中参数t的几何意义

笔者在教学过程中，发现学生对于参数t的几何意义难以理解，大多只是记忆在脑海里。由于这里的t涉及到构造，学生难以理解也属正常。笔者在具体教学中从匀速直线运动的角度阐释t 的几何意义，这样使得t具有了物理意义，学生比较容易理解。

笔者在具体教学中将直线放入平面直角坐标系，使其上一定点为，倾斜角，假设一动点从定点出发沿直线以速度1（自设数值，速度方向沿直线向上为正，向下为负）做匀速直线运动，得出直线的参数方程为，然后从严谨性上入手让学生认识到所求参数方程表示的只是半条直线，让其将参数方程进行补充修改，并统一成一种形式，然后让学生从参数t的符号和数值两个方面来讨论参数的几何意义，可得|t|表示参数为t的点M到的距离，t的符号决定速度的正负，也就决定了点M与点的位置关系。

4 若已知直线的参数方程，则直线上任意两点间的距离公式是什么

这里的难点在于学生对于直线参数方程的标准型与非标准型的认识不够，误认为直线上任意两点的距离都为|t1-t2|.在教学中应该使学生学会辨别标准型与非标准型，掌握标准型与非标准型的关系，并且使学生掌握非标准形式下直线上任意两点间的距离，推导如下。

设直线的参数方程为，直线上两点A、B所对应参数分别为：，则A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），由两点间距离公式可得|AB|=.进而A点到的距离就为，且由于直线参数方程为标准型时，，其中为直线的倾斜角，此时，，故直线上任意两点AB的距离为，其中分别为直线上两点A、B所对应参数。这样从一般性入手再到特殊性，可以解决学生误看特殊为一般的问题。

（作者单位：兰州市五十八中）