空气中水体温度下降随时间的变化模型

中国人民解放军后勤工程学院 何昊男 韩 明 杨继宝 丁志康

空气中水体温度下降随时间的变化模型

中国人民解放军后勤工程学院 何昊男 韩 明 杨继宝 丁志康

本模型准备建立一个空气中水体温度下降随时间的变化模型，当杯子中刚倒上一杯滚烫的水时，温度传感器采集数据，传输给处理芯片，芯片根据预先编好的温降模型，计算出水体下降到人们需要的温度时所需要的时间，然后达到这个时间后，提醒人们水的温度已经适合饮用，让人们不再错过喝水的最佳时间。本研究采用最小二乘法准则进行曲线拟合，得到函数表达式的各个待定系数的值，最后再将拟合函数曲线与实际温度下降曲线进行对比。

温降模型；最小二乘法

1 制定计划以及实验探究

以不同体积的热水作为探究的对象。将体积分别为250ml、350ml和满杯的水加热至沸腾，选用塑料杯和玻璃杯两种容器来盛装水，然后利用温度传感器对其降温过程进行实时监测，记录其温度变化数据，利用计算机进一步分析处理。

实验步骤：1）将沸水倒入杯中，将温度传感器探头伸入水中，同时开始进行环境温度与水体温度的监测，每10s记录一次数据。2）采集体积为350ml和满杯的沸水的降温过程温度变化数据。3）处理实验数据并且根据曲线特点选择合适的函数进行拟合。

2 理论分析与数据处理

假设环境温度不变，由牛顿的冷却定律可知：将温度为T的物体放入处于常温的介质中时，T 的变化速率正比于T与周围介质的温度差。即：

求解微分方程可得：

其中T(t)是实时温度，t是时间，T0为环境温度，c、k是待定参数。理论上，当开始降温时于是上式变为：

因此C就是热水与环境的最大温差。

基于上面的分析，可以再测量任一时刻的水温，即可以确定K的值。同时，仅改变热水的体积不会对C值产生影响，只影响K。此外，根据热水的冷却时间与水杯的体积成反比的特性可知：

其中，a, b为待定系数，V为热水体积。可以通过改变热水体积的方式确定a, b，从而得到水温（给定环境温度以及热水体积）随时间的变化情况：

这种计算的优点在于，不需要太多的水温变化数据，只需保持其它实验条件不变的情况下，改变热水的体积，每种体积下测量两次温度（包括初始温度），就可以得到水温随时间变化的具体公式，进而利用这个公式预测给定时刻的水温。缺点是缺乏对具体实验环境的考虑，比如：水杯的材质、水杯的密封程度（开口或闭口）等可能会影响水温变化的条件，为了克服理论计算的不足，可以从具体实验环境下得到的数据出发，采用函数拟合的方法来充分提取数据信息，预测不同时刻的水温。

3 基于实验数据与函数拟合的水温下降模型

3.1 拟合的思路

根据牛顿冷却定律，可以提出类似的拟合函数T(t)，令：

其中，T0是环境温度，c、k、a、b是待定系数，V为热水体积，Ti是ti时刻对应的温度值。J(T0, c, k)为各时刻ti对应的计算值T(ti)与实际温度值Ti间误差的平方和。

本研究采用最小二乘法准则进行曲线拟合。其基本思路是根据构造好的拟合函数T(t)，计算T(ti)，使得T(ti)与实际温度值Ti间误差的平方和最小，即：寻找非线性规划minJ(T0, c, k)的最优解。这种拟合方法称为最小二乘拟合。

3.2 模型求解与数据实例

保持其它实验条件不变，仅改变热水的体积进行降温实验，将数据导入MATLAB软件编程进行函数拟合。为了测试模型效果，分别选用不同规格以及型号的水杯盛放不同体积的热水，并在恒温箱中进行实验。

首先利用烘箱保持环境温度为40℃的实验数据进行数据拟合（由于水杯刚放入设备时环境温度不稳定，因此计算使用数据是从玻璃杯装的热水温度降到74.1℃时筛选其中的一部分；同时塑料杯的热水温度从74℃开始筛选），实验预设参数以及拟合系数的计算结果如下所示：

表1 热水降温公式的数据拟合系数列表

可以看出，当实验初始温度固定后，即使体积变化，c的值基本上变动不大，接近理论模型值，约为。

4 结论

为了检验模型计算效果，可以根据计算结果构造拟合曲线并绘图与真实数据进行比较，如图1与图2，可以看出拟合曲线在绝大多数时刻都与真实温度很接近，如果不用工具测量，人体很难感受到这种差异。因此利用本模型来预测热水温度是有效的。

此外，选用不同的时间与体积单位也会有不同公式，选用不恰当的单位进行计算，在实际计算中有可能会因为量纲而产生较大的误差，但通过实例计算，反复观察计算效果，本文选用的时间单位是分钟，体积V的单位是ml进行计算，得到了较好的结果。同时，初始计算温度对参数也是有影响的，选用不同的数据会得到不同的降温公式。因而，实例计算得到的模型只能预测74℃以下的两类型号玻璃杯（在相应三种热水体积）的降温情况。但是不管那种公式，拟合误差都比较小。说明这种数据拟合的方法预测效果是稳定的、合理的。

图1 250ml闭口塑料杯降温曲线图

图2 250ml闭口玻璃杯降温曲线图

[1]葛新石,叶宏等.传热和传质基本原理[M].北京:化学工业出版社,2009.

[2]姜启源,谢金星等.数学建模[M].北京:高等教育出版社,2005.