角的平分线的性质教学详案

赵青丽

一、教学目标

知识技能：掌握用尺规作已知角的平分线的方法，掌握角的平分线的性质。

数学思考：了解角的平分线的性质在生活生产中的应用。

解决问题：在探索角的平分线的性质中培养几何直觉，提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

情感态度：在探讨作角的平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题成功体验，逐步培养学生的理性精神。

二、学情分析

学生已学习了角平分线的概念和全等三角形的相关知识，并掌握了一定的尺规作图技能，由此可引出本节课的教学。

三、重点难点

重点：角的平分线的性质的证明及运用。

难点：角平分线的性质的探究。

四、教学过程

活动一【导入】、角平分仪的演示

教学内容：感悟实践经验，用尺规作角的平分线

问题1：同学们手中都有一个角，请快速你将手中的角分成两个相等的角，你有什么办法？

追问1：如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

生活中，工人师傅常常利用一种简易的角平分仪来平分角，下面我们就一起研究一下这种平分角的仪器，如图就是角平分仪，角的顶点为O，其余三个顶点分别是D、C、E，其中OD=OE，DC=EC，把点O放在角的顶点上，OD和OE沿着角的两边放下，沿OC画一条射线观察射线OC和∠AOB有什么关系？

追问2：当角的度数发生变化时，结论还成立吗？（课件演示任意两次改变角的大小，而OC所分成的两个角的度数仍然相等）

追问3：你能说明理由吗，为什么射线AC会是∠AOB平分线？

设计意图：教学中设计了用几何画板动态演示角平分仪的用法的环节，变换角的度数师启发学生建立数学模型，并用全等三角形的知识解释.有利于学生直观观察和思考所出示的问题，为得出用尺规作已知角的方法做良好的铺垫。让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.

【活动】二、感悟作图

教学内容：感悟实践经验，用尺规作角的平分线

问题2：从这个的探究中， 你能否受到启发？探索出用尺规作已知角的平分线的方法呢？

自己动手画一画.然后与同组同学交流你的方法.实在没有思路的同学可以根据提示来思考，寻找答案。

提示：

1.已知、求作分别是什么？

2.OD=OE，用尺规怎么画？

3.DC=EC，用尺规怎么画？

通过进行“你说我做”的互动，请学生说出作图过程，教师按所图步骤完成作图.

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分线.

作法：（略）

追问1：去掉“大于1/2 DE的长”这个条件行吗？

追问2：所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

设计意图：作图的每一个步骤都与提示的问题及前面的课件演示相联系，学生能够较容易得到用尺规作已知角的平分线的方法，而且因为知其然，因而不是死记硬背作图过程，而是有感而发，印象深刻.

问题3：下面我们再来作一个特殊的角--平角的平分线，找一名同学在黑板上画，其余同学在练习本上完成.

追问1：在这个图形中你还能得到什么结论？

追问2：如果反向延长OC得到直线CD，请问直线CD与AB有什么样的位置关系.

追问3：你能把刚才的角四等分吗？每份角的度数是多少？

追问4：你还能把角几等分？有什么规律吗？

设计意图：通过作特殊角的平分线，除可以让学生更熟练掌握作已知角的平分线的基本作图外，还可以让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线及用尺规作特殊角—90°和45°的角的方法，达到培养学生的发散思维的目的.追问四则对学有余力的学生的逻辑推理能力有所提高.

活动三、发现证明

教学内容：经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质

问题3：刚才我们把把得到了一条折痕，也就是这个角的平分线，接下来

把对折后的纸片继续折叠，折出一个直三角形

（而且使斜边在第一次的折痕上）

把纸片展开，并用笔描画出三条折痕（学生动手折叠、展开、描线）

观察第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何位置关系

追问1：它们的长度有何关系？

设计意图：培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫.

追问2：下面我们再用课件进行演示，看看同学们得到的结论一定成立吗？（先变换点P在角平分线上的位置、再变换角的大小，图略）

追问3：是因为点P的位置比较特殊吗？下面我们改变点P在OC上的位置，观察PD与PE还相等吗？

追问4：那是因为∠AOB的度数比较特殊吗？下面我们再来改变∠AOB的度数，观察PD与PE还相等吗？

追问5：PD与PE的长也就是什么？

追问6：由此，你能得到什么结论？

设计意图：通过动手实验、观察比较，特别是几何画板的动态演示，让学生去发现发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”.

追问7：要证明这个文字命题，我们首先要做什么？

（写出已知和求证）

已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证：PD =PE（图略）

追问8：要证明两条线段相等，你想到通过什么来证明？

设计意图：进一步培养学生的逻辑思维，规范学生证明过程.

追问9：你能把角的平分線的性质用符号语言来表述吗？

追问10：角的平分线的性质的作用是什么？

追问11：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

设计意图：让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展归纳概括的能力.

活动四、应用提高

教学内容：（略）

设计意图：通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。

活动五、本课之星

如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于点E， 三角形ABC的面积等于30，AB=10，BC=5，则DE的长为 .（图略）

设计意图：检测学生对本节课内容的掌握情况.

活动七、归纳总结

设计意图：旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，并建立知识体系.教师概括时顺势引出下节课将要学习的内容，给学生留下悬念.

活动八【作业】、实践延伸 （略）