基于改进集的向量均衡问题解的最优性条件

宋宁宁， 仇秋生

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

基于改进集的向量均衡问题解的最优性条件

宋宁宁， 仇秋生

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

研究了带约束向量均衡问题统一解的最优性条件.首先,利用改进集引进了带约束向量均衡问题E- 弱有效解和E- 有效解的概念;其次,在目标函数为广义凸的条件下,利用凸集分离定理和择一定理获得了向量均衡问题E- 弱有效解和E- 有效解的最优性条件;最后,给出了向量优化问题相应解的最优性条件.

向量均衡问题;改进集;E- 弱有效解;E- 有效解;最优性条件

0 引 言

(VEP)

向量均衡问题是当今运筹学与非线性分析研究领域中的一个热点问题,向量变分不等式、向量优化等均为向量均衡问题的特例.在数学规划、工程技术、数理经济与社会经济系统等众多领域中有着广泛的应用.而向量均衡问题包含各种不同形式的解,如:有效解、弱有效解、近似弱有效解、近似Henig有效解等.其中一个重要的问题是研究向量均衡问题的最优性条件和标量化特征.例如:2008年，龚循华[1]在局部凸空间中获得了带约束锥凸向量均衡问题的最优性条件;2009年,仇秋生[2- 3]获得了带约束向量均衡问题的弱有效解和全局有效解的充分必要条件，以及弱有效解的K- T条件；2010年,龚循华等[4]获得了Banach空间中无约束向量均衡问题近似解的最优性条件；2011,龙宪军等[5]运用凸集分离定理，得到了近似锥次类凸向量均衡问题的Henig有效解及超有效解的充分必要条件,并运用这些结果获得了约束向量优化问题和向量变分不等式的最优性条件;2012年,鲍玲玲等[6]在Banach空间中首先给出了带约束向量均衡问题近似解的一些性质,并得到了带约束向量均衡问题近似解的充分必要条件.近年来,一些学者[7- 9]利用改进集对向量优化问题解的统一性进行了研究,但对向量均衡问题解的统一性研究暂时还没有相关结果.如何提出统一的向量均衡问题解的概念并在统一的框架下研究它们的最优性条件、标量化、存在性等工作具有重要的实际和理论意义.

本文研究了改进集下带约束向量均衡问题统一解的最优性条件.首先,在文献[1- 2,7,10- 11]的基础上,利用改进集引进了带约束向量均衡问题E- 弱有效解和E- 有效解的相关概念,并讨论了它们之间的关系;其次,给出了内部E- 类凸映射的择一定理;最后,获得了广义次类凸向量均衡问题的E- 弱有效解的充分与必要条件,并利用择一定理获得了向量均衡问题的E- 有效解的充分条件.

1 相关概念与引理

设C⊂Y是点凸锥,C的共轭锥和C的拟内部分别用C*和C#表示,即

C*:={y*∈Y*:y*(y)≥0,∀y∈C};

C#:={y*∈Y*:y*(y)>0,∀y∈C{0}}.

由C诱导出Y的偏序，即∀y∈Y,有

x≤Cy⟸⟹y-x∈C.

设S为Y的任意一个非空子集,S的生成锥记为:cone(S):={λs:λ≥0,s∈S}.记cone+(S):={λs:λ>0,s∈S},显然

1)cone(S)=cone+(S)∪{0Y};

2)cl(cone(S))=cl(cone+(S));

3)cone+(S+C)=cone+(S)+C.

引理1[10]设M是Y中的凸集,则cl(M)是凸的.此外,若intM≠Ø,则intM是凸的且cl(M)=cl(intM),intM=int(cl(M)).

引理2[10]设S是Y中的任意子集,C是内部非空凸锥,则

1)cl(S+C)=cl(S+intC);

2)int(cl(S+C))=S+intC;

3)int(S+C)=S+intC.

定义1[7]设E是Y中的非空子集.若0∉E且E+C=E,则称E为改进集.记LY是Y中所有改进集组成的集合.

引理3[7]设E∈LY,C是Y中的闭凸点锥,且intC≠Ø,则

1)intE=E+intC;

2)cl(cone(D+E))=cl(cone(D+intE)).

注1 由引理3表明:当intC≠Ø时,intE≠Ø.

(VEPC)

其中,E∈LY.

下面给出基于改进集的向量均衡问题相关解的定义.

注2 设intE≠Ø,显然E- 有效解一定是E- 弱有效解.

注3 基于改进集的带约束向量均衡问题的解是一个很一般的概念,它统一了已知的很多带约束向量均衡问题解的概念.例如:

1)记E=ε+C{0},ε≥0,于是E∈LY.当ε=0时,(VEPC)的E- 有效解就是(VEP)的有效解;当ε≠0时,(VEPC)的E- 有效解就是(VEP)的ε- 有效解.

2)记E=ε+intC,ε≥0,显然E∈LY.当ε=0时,(VEPC)的E- 弱有效解就是(VEP)的弱有效解;当ε≠0时,(VEPC)的E- 弱有效解就是(VEP)的ε- 弱有效解.

3)当intC⊆E⊆C{0}且C是Y中的点凸锥时,(VEPC)的E- 弱有效解为(VEP)的弱有效解.

定义4 设F:D→Y,E∈LY.若int(cone+(F(D)+E))是凸集,且cone+(F(D)+E)⊂cl(int(cone+(F(D)+E))),则称F为D上内部E- 类凸的.

其等价定义:F是D上内部E- 类凸的当且仅当int(cone+(F(D)+E))是凸集,且F(D)+E⊂cl(int(cone+(F(D)+E))).

注4 显然,F是D上内部E- 类凸的当且仅当int(cone+(F(D)+E))是凸集,且

cl(cone+(F(D)+E))=cl(int(cone+(F(D)+E))).

定义5[7]设F:D→Y.若cl(cone(F(D)+E))是凸集,则称F为D上近似E- 次类凸的.

注5 由引理3及文献[11]中的命题3.3知,当intC⊆E⊆C{0}且C是Y中的闭凸点锥时,cl(cone(F(D)+E))=cl(cone(F(D)+C)).这表明在此条件下,近似C- 次类凸映射和近似E- 次类凸一致.反之,近似C- 次类凸映射不一定是近似E- 次类凸的.

显然,cl(cone(f(D)+E))是凸集,而cl(cone(f(D)+E))不是凸集.

命题1 若int(cone+(F(D)+E))≠Ø,则下列命题等价:

1)cl(cone+(F(D)+E))是凸集且int(cl(cone+(F(D)+E)))=int(cone+(F(D)+E));

2)F是D上内部E- 类凸的.

证明 1)⟹2) 由于cl(cone+(F(D)+E))是凸集且

int(cl(cone+(F(D)+E)))=int(cone+(F(D)+E))≠Ø,

所以由引理1得int(cl(cone+(F(D)+E)))是凸集,且

cl(cone+(F(D)+E))=cl(int(cone+(F(D)+E))).

又由int(cl(cone+(F(D)+E)))=int(cone+(F(D)+E))知,int(cone+(F(D)+E))是凸集且

F(D)+E⊂cl(cone+(F(D)+E))=cl(int(cone+(F(D)+E))).

即2)成立.

2)⟹1) 假设F是D上内部E- 类凸的,则由定义4知int(cone+(F(D)+E))是凸集,从而cl(int(cone+(F(D)+E)))是凸集.又由注4知,cl(int(cone+(F(D)+E)))=cl(cone+(F(D)+E)),于是cl(cone+(F(D)+E))是凸集.因为int(cone+(F(D)+E))≠Ø,所以由引理1知,

int(cl(cone+(F(D)+E)))=int(cone+(F(D)+E)).

即1)成立.命题1证毕.

注6 1)当intC≠Ø时,由引理2易证int(cl(cone+(F(D)+E)))=int(cone+(F(D)+E)).由命题1可知在此条件下内部E- 类凸与近似E- 次类凸是一致的.

2)由命题1知:若F在D上是内部E- 类凸的,则F在D上是近似E- 次类凸的,反之不一定成立.

例2 设X=Y=R2,C={(0,t)∈R2:t≥0},D=C,E=C{0Y}.令f:D→Y,f(x)=x,∀x∈D.显然,cl(cone+(f(D)+E))=C是凸集,但int(cone+(f(D)+E))=Ø.于是,f在D上不是内部E- 类凸的.

定理1 设F:D→Y为D上内部E- 类凸的映射,则下面2个结论有且只有1个成立:

1)0∈int(cone+(F(D)+E)) ;

2)∃y*∈C*{0},使得〈y*,F(x)〉≥σ-E(y*),∀x∈D.

证明 若1)不成立,则2)成立.设0∉int(cone+(F(D)+E)),则由凸集分离定理可知:存在y*∈Y*{0},使得

〈y*,y〉>0, ∀y∈int(cone+(F(D)+E)).

由式(1)可得,〈y*,y〉≥0,∀y∈cl(int(cone+(F(D)+E))).因为F是D上内部E- 类凸的,所以

〈y*,y〉≥0, ∀

即〈y*,F(x)+e〉≥0,∀x∈D,∀e∈E.因此,〈y*,F(x)〉≥σ-E(y*),∀x∈D.

〈y*

由E∈LY和式(2)可得

〈y*,y′〉≥0, ∀

若1)成立,则2)不成立.由于1)成立,所以存在零邻域UY,使得UY⊂cone+(F(D)+E).若2)也成立,则〈y*,F(x)+e〉≥0,∀x∈D,∀e∈E,即〈y*,y′〉≥0,∀y′∈cone+(F(D)+E).

由于UY⊂cone+(F(D)+E),所以〈y*,y′〉≥0,∀y′∈UY.于是,y*=0.与y*≠0矛盾.定理1证毕.

2 最优性条件

下面利用凸集分离定理给出近似(E×K)- 次类凸向量均衡问题的弱有效解的充分必要条件.

(φ).

(h(D)+E×K)∩((-intC)×(-intK))=Ø.

若式(6)不成立,则存在y∈D,e∈E,k∈K,c∈intC,k0∈intK ,使得

〈(φ,ψ),cl(cone(h(D)+E×K))〉>〈φ,-intC〉+〈ψ,-intK〉.

由cl(cone(h(D)+E×K))是凸锥及式(9)可得,〈(φ,ψ),cl(cone(h(D)+E×K))〉≥0.显然,

〈(φ,ψ),h(D)+E×K〉≥0.

∀e∈E, ∀

由式(10)得

(φ).

于是,式(5)成立.

另一方面,由(0Y,0Z)∈cl(cone(h(D)+E×K))和式(9)可得〈φ,-intC〉+〈ψ,-intK〉<0.显然,对∀c∈intC,∀λ>0,有λc∈intC,则

〈φ,-λc〉<〈ψ,k〉, ∀c∈intC, ∀λ>0, ∀k∈intK.

〈φ,c〉≥0, ∀

又因为C是凸的且intC≠Ø,所以C⊂cl(C)⊂cl(intC).因此,由式(11)可知φ∈C*.同理可证ψ∈K*.

下证φ≠0Y*.否则,由(φ,ψ)≠(0Y*,0Z*)和式(10)可知

〈ψ,g(y)〉≥0, ∀

又由于ψ∈K*,g(x0)∈-intK,所以〈ψ,g(x0)〉<0.与式(12)矛盾.因此,φ∈C*{0}.

C.

(φ).

注7 定理2获得了向量均衡问题的E- 弱有效解的充要条件,而E- 弱有效解包含许多已知的解作为特殊情况,如:

1)令E=ε+intC,ε≥0.当ε=0时,(VEPC)的E- 弱有效解最优性条件就是(VEP)的弱有效解的最优性条件;当ε≠0时,(VEPC)的E- 弱有效解就是(VEP)的ε- 弱有效解.从而推广了文献[2]中定理3.1的结果.

2)当intC⊆E⊆C{0}且C是Y中的点凸锥时,(VEPC)的E- 弱有效解为(VEP)的弱有效解.

(φ).

UY×UZ⊂cone+(T).

取d′∈C{0},使得-d′∈UY{0}.由式(13)知,(-d′,0)∈UY×UZ⊂cone+(T),即存在λ>0,y′∈D,e∈E,k∈K,使得

(y′)+k).

(ψ).

(φ).

下证φ≠0Y*.否则由式(16)可得〈ψ,g(y)〉≥0,∀y∈D.因为对任意的k∈K,有〈ψ,k〉≥0,所以〈ψ,g(y)+k〉≥0,∀y∈D,∀k∈K.显然,

〈ψ,z)〉≥0, ∀z∈cl(cone(g(D)+K)).

又因为cl(cone(g(D)+K))=Z,所以

〈ψ,z)〉≥0, ∀z∈Z.

而-z∈Z,故由式(17)可知,〈ψ,z〉≤0.因此,ψ为零泛函.这与(φ,ψ)∈(C*×K*){0Y*,0Y*}矛盾.故φ≠0Y*.定理3证毕.

∀e∈E, ∀

由于ψ∈K*,所以〈ψ,g(y)〉≤0,∀e∈E,∀y∈A.因此,由式(19)可知

∀e∈E, ∀y∈A.

∉-e-C⊂-(E+C)=-E, ∀y∈A.

3 应 用

下面以向量优化问题为例,给出改进集下向量优化问题的相关结果.

设f:X→Y,g:Y→Z.所谓改进集下向量优化问题(VOP)就是:找出x∈A,使得

(VOP)

f(y)-f(x)∉-E, ∀y∈A.

当取F(x,y)=f(y)-f(x),∀x,y∈D时,(VEPC)即转化为(VOP).显然,(VOP)为(VEPC)的一种特殊情形.

〉.

).

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(责任编辑 陶立方)

The optimality conditions of the vector equilibrium problems via improvement set

SONG Ningning, QIU Qiusheng

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The optimality conditions for unified solution of the vector equilibrium problems with constraints were studied. Firstly, the concept ofE- weakly efficient solution andE- efficient solution for the vector equilibrium problems with constraints via the improvement set were introduced. Secondly, under the condition of generalized convex function, the optimality conditions forE- weakly efficient solution andE- efficient solution of the vector equilibrium problems were given. Finally, the optimality conditions of vector optimization problems were obtained.

vector equilibrium problems; improvement set;E- weakly efficient solution;E- efficient solution; optimality conditions

10.16218/j.issn.1001- 5051.2017.02.003

2016- 04- 25；

2016- 06- 19

国家自然科学基金资助项目(11471291)

宋宁宁(1989-),女，河南周口人，硕士研究生.研究方向：最优化理论.

仇秋生. E- mail： qisqiu@zjnu.cn

O221.6

A

1001- 5051(2017)02- 0130- 07