带有非齐次Neumann条件的Laplace方程Cauchy问题的一种傅里叶正则化方法

曹笑笑，毛东玲，程强，熊向团

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)



带有非齐次Neumann条件的Laplace方程Cauchy问题的一种傅里叶正则化方法

曹笑笑，毛东玲，程强，熊向团

(西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

带有非齐次Neumann条件的Laplace方程Cauchy问题是一类严重不适定问题，笔者考虑该问题在无限条状区域下的解并通过一种修改过的Fourier正则化方法构造正则解，给出近似解和精确解的误差估计，最后由偏差原理得到近似解的后验误差估计.

不适定问题；正则化方法；误差估计

带有Neumann边界条件的Helmholtz方程在许多物理应用中讨论过[1-3]，Tautenhahh[4]中利用Tikhonov方法和奇异值分解得到解的误差估计，Fu等[5]中给出该问题的Cauchy问题的先验正则化方法，文献[6]中利用截断方法得到后验正则化方法及收敛性估计，该方法通过直接去掉高频部分使问题变得适定.笔者将给出一种新的Fourier正则化方法，该方法优点在于不用将高频部分全部截断为零，从而得到更精确的近似解.

考虑下述定义在Rn+1上的条状区域内的Helmholtz方程:

(1)

本文中分为4个部分，后面的部分安排如下：第二部分给出该问题的解及条件稳定性结果；第三部分给出在后续论证中比较重要的引理；第四部分主要使用先验正则化方法给出了精确解和近似解的误差估计以及参数选择；第五部分分析了后验正则化方法的误差估计.

1 条件稳定性结果

直接由Fourier方法给出(1)式的解为：

(2)

或者等价于：

(3)

‖ψ(·)-ψδ(·)‖≤δ

(4)

其中‖·‖是定义在L2(Rn)上的范数，根据文献[6]中所定义的先验界得：

(5)

定理1 假设先验界(5)式成立，且由(3)式给出的u(x,y)是问题(1)式的解，则有下列的条件稳定性结果：

‖u(x,·)‖≤Ex‖ψ‖1-x

(6)

该证明已由文献[6]中给出，在此略去.

2 预备结果

现在我们给出一些在后续结论中非常重要的引理.

引理2 对任意的x∈(0,1)，有：

(7)

引理 2的证明

引理3 对任意的x∈(0,1)有：

(8)

引理3的证明 因为x∈(0,1)，则有：

可得1-e-2x|ξ|<1-e-2|ξ|，得证.

3 先验正则化方法

下面使用新的正则化方法得出解的收敛性估计.

首先定义正则化算子：

(9)

(10)

定理4的证明 首先定义

(11)

和α=e-2xξmax，根据三角不等式和Parseval等式，我们有：

(12)

和

(13)

(14)

证毕.

4 后验正则化方法

根据偏差原理，ξmax可以看做下述方程的解：

(15)

其中r>1是一个常数.通常情况下假定‖ψδ‖>δ成立.下文中根据上述参数选取规则给出ξmax的估计.

引理5 假设条件(4)式和(6)式成立，并且ξmax是方程(15)的解，则下式成立：

(16)

引理5的证明 根据(6)式和引理2易知：

(17)

根据三角不等式有:

(18)

(19)

因此，

(20)

证毕.

下面我们给出问题(1)式近似解的误差估计.

定理6 假设条件(4)式和(5)式都成立，且ξmax是(15)式的解，则有下列估计：

(21)

定理6的证明 根据三角不等式和Parseval等式有：

(22)

下面分别对I3和I4进行估计,

则

(23)

则

(24)

(25)

证毕.

注记：现在可以考虑定义在Rn+1上的条状区域内的Helmholtz方程的Cauchy问题:

(26)

根据线性性，可将该问题拆分成带有和非齐次Neumann和Dirichlet边界条件的两个问题：

(27)

和

(28)

上述Fourier方法同样可以用于问题(28)式,证明过程与之类似，在此不予赘述，从而可得到问题(26)式的误差估计.

本文中我们给出一种非常简单和方便的Fourier正则化方法，并且给出近似解和精确解之间的误差估计.与文献[5]中结果相比，此方法得到的误差估计更加精确，因此对于给出的噪音数据ψδ，本文中可以得到较好的收敛性结果.

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[2] Delillo T, Isakov V, Valdivia N, et al. The detection of surface vibration from interior acousticalpres-sure[J]. Nverse Problems, 2013, 19(3): 507-524.

[3] Hall W S, Mao X Q. Boundary element investigation of irregular frequencies in electromagnetic sca-ttering[J]. Eng Anal Bound Elem, 1995, 16(3): 245-252.

[4] Tautenhahh U. Optimal stable solution of Cauchy problems of elliptic equations[J]. Anal Appl, 1996,15: 961-984.

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(责任编辑 赵燕)

A Fourier method for solving the Cauchy problem for the Laplace equation with nonhomogeneous Neumann data

CAO Xiaoxiao,MAO Dongling,CHENG qiang,XIONG Xiangtuan

(College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China)

The Cauchy problem for the Laplace equation with nonhomogeneous Neumann data is a severely ill-posed problem.In this paper,the problem in an infinite“strip”domain is considered and we construct a regularization solution by using a new Fourier method.The error estimate between regularization approximation solution and exact solution is given，and the estimate of regularization solution is also done by discrepancy principle.

ill-posed problem；regularization method；error estimate

2016-10-29

曹笑笑(1994-)，女，硕士生；熊向团，通信作者，教授，E-mail:xiongxt@gmail.com

1000-2375(2017)03-0236-05

TB324.1

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.03.005