巧用类比思维解题

罗海江

1865年的一天，法国园艺师莫尼埃在观察植物的根系时发现，植物根系在松软的土壤里互相交叉、盘根错节，形成一种网状结构，从而把土壤抱成了团。莫尼埃从植物根系的这个现象中得到启示：如果在做水泥花坛时，在混凝土里面先加上一些网状的铁丝，不就可以使建成的花坛抗拉强度增加，更加结实了吗？于是他马上开始动手试验，效果很好。钢筋混凝土就这样被发明了，并且一直到现在还是建筑业中一种不可缺少的建筑材料。

上述这个故事中，运用的是移植思维，也叫类比思维。在解答数学题时，也经常会遇到一些很类似的题目，见到题目甲就会想到题目乙，于是可以用解答题目乙的方法去解答题目甲。这种思维就是类比思维。

【例1】有一个挂钟，每小时敲一次，几时就敲几下。钟敲6下，5秒钟敲完；钟敲12下，几秒钟敲完？

【分析与解】有些同学根据倍数关系下结论，认为钟敲12下，需要5€？€？2=10（秒），那就完全错了。其实此题只要用类比思维，与植树问题联系起来想就清楚了：在一条路上植树，这条路被树分成了n段，如果不包括两个端点，共需植（n 1）棵树，如果包括两个端点，共需植（n+1）棵树。把时数看作树的棵数，把相邻两次敲钟的时间间隔看作株距，此题就迎刃而解了。

相邻两次敲钟的时间间隔是5€鳎？ 1）=1（秒），钟敲12下，需要1€祝？2 1）=11（秒）。

【例2】从时针指向3开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合？

【分析与解】本题可以与行程问题进行类比。如果把时针1小時所走过的一格作为单位“1”，那么本题就可以这样叙述：已知分针与时针相距3格，时针在前，分针在后。时针的速度为每分钟行格，分针的速度为每分钟行格，如果分针与时针同时同向出发，经过多少分钟，分针才能追上时针？

这样，此题就可以用行程问题中追及问题的解题方法来解答了。相差距离为3格，速度差为 ，分针和时针重合所需的时间就是追及时间，所以经过3€鳎ā。？16（分）钟，时针与分针重合。

【例3】小芳去买文具，她带的钱正好够买8支铅笔或12块橡皮。她先买了6支铅笔，剩下的钱全部买橡皮。剩下的钱可以买几块橡皮？

【分析与解】题中没有给出小芳带的钱数，以及铅笔和橡皮的单价等条件，怎样才能算出剩下的钱可以买多少块橡皮呢？仔细想想，便可以发现，此题与工程问题很相似，如：一项工程，甲单独做8天可以完成，乙单独做12天可以完成，如果甲先做6天，余下的工程由乙单独做，乙还要几天可以完成？

借用工程问题的解题思路就能使问题迎刃而解了。把小芳带的钱数看作单位“1”，则每支铅笔的单价是，每块橡皮的单价是，买6支铅笔后剩下的钱数为1 €？=，因此剩下的钱可以买€？3（块）橡皮。

【例4】自行扶梯以均匀的速度由上向下运行，两个顽皮的孩子逆着自动扶梯下行的方向上楼。已知男孩每分钟走24级台阶，女孩每分钟走20级台阶。结果男孩用2分钟到达楼上，女孩用3分钟到达楼上。该扶梯的可见部分共有多少级？

【分析与解】本题与“牛顿问题”类似：“牛吃草的速度”变成了两个小孩的速度，“每天新长出的草”就变成了扶梯的速度，“原有的草”变成了扶梯可见部分的级数。因此本题可借用“牛顿问题”的解题思路求解。

上楼的速度由两部分合成：一部分是小孩自己的速度，另一部分是扶梯的速度。男孩2分钟走了24€？=48（级），女孩3分钟走了20€？=60（级），说明电梯1分钟走（60 48）€鳎？ 2）=12（级），所以扶梯的可见部分共有24€？ 12€？=24（级）。