向量组线性相关性的三种典型判法

【摘要】本文根据向量组线性相关性的定义、性质以及矩阵的秩、向量组的秩的关系，给出了向量组线性相关性的三种典型判法以及求向量组的秩和极大无关组的方法.

【关键词】向量组；线性相关性；典型判法

向量组的线性相关性，对整个线性代数理论的建立都非常重要.怎样准确快速地判别向量组的线性相关性？我们给出下列几种典型判法：

一、定义法

若向量组为α1，α2，…，αm，可令k1α1+k2α2+…+kmαm=0（零向量），代入向量的坐标，用向量相等的定义将其转化为关于k1，k2，…，km的齐次线性方程组，若它有唯一零解，则k1，k2，…，km全为零，向量组线性无关；若它有非零解，则k1，k2，…，km不全为零，向量组线性相关.

例1判断下列向量组的线性相关性：

α1=（1，-2，…，3），α2=（2，1，…，0），α3=（1，-7，…，9）.

解令k1α1+k2α2+k3α3=0，代入分量得

（k1+2k2+k3，-2k1+k2-7k3，3k1+9k3）=（0，0，0）.

由向量相等的定义得齐次线性方程组

k1+2k2+k3=0，

-2k1+k2-7k3=0，

3k1+9k3=0.

其系数矩阵实施行初等变换得

A=121

-21-7

309→121

05-5

0-66→121

01-1

000 →103

01-1

000.

秩r（A）=2<3，方程组有无穷非零解，且k1=-3k3，k2=k3（k3为自由未知量），向量组α1，α2，α3线性相关.

本例中方程个数等于未知量的个数，也可直接计算系数行列式得其值为零，从而得方程组有无穷非零解.

二、性质法

依据：部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关.

判法：若向量组为α1，α2，…，αm，先看向量组中是否有零向量，若有，则向量组线性相关；若无，则第一个向量α1必线性无关，留下；再看第二个向量α2是否与α1成比例，若是，则α1，α2线性相关，从而向量组线性相关，画去α2；若不是，则α1，α2线性无关，留下α2；继续用同样的办法再看第三个向量α3，直至看完最后一个向量为止.不仅可以判断出向量组的线性相关性，还可找出向量组的极大无关组（即：留下的向量组）.

如上例1中，先看α1≠0，必线性无关，留下α1；再看第二个向量α2，它与α1不成比例，因此，α1，α2线性无关，留下α2；最后看α3，因为α3=3α1-α2，所以α1，α2，α3必线性相关，画去α3.留下的向量组α1，α2即为α1，α2，α3的一个极大无关组.

三、矩阵判法

依据：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的行向量组的秩=矩阵的列向量组的秩=矩阵的列秩；若向量组的秩=它所含向量的个数，则向量组线性无关；否则，向量组线性相关.向量组的秩=向量组的极大无关组中向量的个数.

判法：若向量组为αi=（αi1，αi2，…，αin）（i=1，2，…，m），要判定其线性相关性，方法如下：（1）以每个向量为行，作成一个m×n矩阵A，即A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn.

（2）对矩阵A施行初等变换，把它化为阶梯形矩阵，得出矩阵A的秩r，它既是矩阵的行向量组的秩，也是矩阵的列向量组的秩.

（3）判断r与向量个数m的关系：若r=m，则向量组线性无关；若r

（4）阶梯形矩阵非零行对应的A中的向量组就是这个向量组的极大无关组.

（当然也可以每个向量为列，作成一个n×m矩阵A，方法一致.如果向量个数等于向量的维数，则矩阵A对应的行列式存在，还可直接用|A|是否为零判定向量组线性相关性.）

上述方法对于坐标含参数的向量组的线性相关性讨论非常方便.

例2设α1=（1，1，1），α2=（1，2，3），α3=（1，3，t），问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关，线性无关？当线性相关时，将α3表示为α1与α2的线性组合.

解因为A=α1

α2

α3=111

123

13t→111

012

02t-1→111

012

00t-5=B，

所以，當t≠5时，r（A）=3=向量个数，向量组α1，α2，α3线性无关.其本身就是它的极大无关组；当t=5时，r（A）=2<3=向量个数，向量组α1，α2，α3线性相关，α1，α2是它的一个极大无关组.此时α3=（1，3，5）=2α2-α1.

【参考文献】

[1]何守元，主编.高等代数[M].北京：现代教育出版社，2015.