感悟基本图形提升解题能力

☉江苏泰州市第二中学附属初中曹文喜

感悟基本图形提升解题能力

☉江苏泰州市第二中学附属初中曹文喜

数学是培养人的思维能力的一门科学，数学中的几何学，就是要研究空间结构及性质的一门学科，它是数学中最基本的研究内容之一.在进行几何教学时，许多学生不能灵活解题，不会独立思考，遇到复杂的图形就束手无策，仍然靠通过做大量的习题来巩固知识，这样势必加重了课业负担.我认为在图形教学中，要加强基本图形的感悟.感悟就是对图式进行分析、抽象、提炼与概括，感悟就是从复杂图形中分解出基本图形，借助于基本图形，使解题思路产生在学生的最近发展区，从而能轻松得到解决图形问题的办法.这就要求我们在平时的教学中，要善于总结归纳基本图形，使学生在自己熟悉的图形基础之上逐步构建知识，学会知识点的归纳、总结，引导学生学会研究问题、解决问题，提升学生的解题能力.

一、基本图形的概念

基本图形是指能够反映一个或几个定理的几何图形，或经常使用的反映图形基本规律的几何图形.具体来说可分为两类，第一类是指几何中的线段、角、相交线、平行线、垂线、三角形（包括等腰三角形、直角三角形）、四边形（包括平行四边形和梯形）、圆等；第二类是在教材对应的例题、习题中发现的具有典型性的图形.第一类基本图形是第二类基本图形的基础，第二类基本图形通常是由几个第一类基本图形组合而成的.

二、为什么要提炼基本图形

1.在进行几何教学时，经常会遇到学生很难形成分析推理能力，不会独立思考，遇到陌生的问题就束手无策.学生在学习数学时，如果只会解决自己做过、教师讲过的问题，不能独立分析、解决问题，那么思维能力是非常弱的.这样的学生往往是通过大量的重复练习来提高成绩，会有比较重的学业负担.

当学生不会做题时，问他在这几分钟进行了哪些思考，不少人总是回答：不知道怎样想，好像在这几分钟内大脑没有进行任何活动一样.在进行练习或考试时，不少学生只会做那些见过、做过的面孔熟悉的题目.一遇到陌生的问题就不会思考，不会把问题转化.甚至经常有讲过、做过几遍的问题，在考试中还不能解答的情况.有些学生，能记住相关内容的文字表述，但不会根据具体图形具体问题具体分析，看到问题不知道从何处着手思考.笔者深有感触的是江苏的中考特别是泰州的中考试卷，近几年来，几乎没有什么所谓的很深的偏的几何题，应当说试题的命制基本都体现了新课标要求下的教学导向，回归教材找题源是试题命制常用的方法.对几何题，我们总是从课本基本图形入手，变换课本母题的条件和结论改编成一个新的题型来考查学生的逆向思维能力；或改变母题的条件使之从静态变成动态，命制一个符合课标要求且具有创新性的题目，来考查学生的灵动思维和应变能力.因此对初中数学教师而言，特别是对毕业班的数学教师而言，应该好好研究教材，注重学生对基本图形的感悟，培养学生的几何直观.

2.感悟基本图形，提升解题能力的理论依据.（1）建构主义和最近发展区理论是本实践研究的主要理论基础.通过建构基础知识的基本图形和典型的基本图形，便于学生在自己熟悉的知识的基础上逐步地建构知识，通过分析法和综合法形成解决几何问题的能力，进而培养学生的的思维能力.（2）图式理论：德国心理学家巴特利特认为，图式是个体已有的知识结构.而知识结构是学习和实践在人的心理，特别是在思维过程中形成的知识体系，这个知识结构对于个体认识事物发挥着重要作用.感悟基本图形就是在学生的头脑中构建种种图式，在分析问题时便于根据相关的联系把图式提取出来，有利于问题的解决.

3.重视基本图形的积累和感悟是提升学生解题能力的关键.这里主要是指第二类基本图形，它是在教材对应的例题、习题中发现的典型例题，由几个第一类基本图形所构成，可以认为是基本图形的组合体，在平时头脑中多积累这些基本图形，并通过对图形的感悟，从而培养学生的几何直观与推理能力.借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.所以我们说强化对基本图形的感悟是提升学生解题能力，提高解决问题效率的关键.

三、例谈如何提炼基本图形

运用几何基本图形教学时，要注重几何知识和基本图形的双向关联作用.建立基本图形与几何知识的双向关联，是分析、解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体.教师在平时的课堂教学中，要渗透这种理解、记忆几何知识的方法.

在教学时要求学生能够做到由定理（或概念）联想图形，由图形联想定理（或概念），实现直观与抽象的有机转换，从而促进学生几何思维能力的提升.对一些简单的问题，我们一般能根据题目所给条件和结论直接得到基本图形；若解决问题有困难，要综合考虑题目中的条件和结论，对图式进行分析、抽象、提炼与概括，从图形中寻找基本图形；若不能找到，则看有没有某个基本图形的一部分，然后根据条件或结论思考怎样添加辅助线构造出基本图形.当图形比较复杂、不能把注意力集中在图形的某个部分进行思考时，可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，在图形的旁边重新画出，以便更方便地进行思考分析.另外，我们要特别注重分析基本图形与数学思想方法相融合，分析问题应在基本的数学思想方法指导下进行.如无处不在的转化思想、数学建模思想、数形结合思想、分类讨论思想等.重要的是借助基本图形，使解题思路产生在学生的最近发展区.解决一个问题有困难时可考虑把它转化为其他问题，转化前后都应考虑基本图形.

1.在问题图形中直接提炼基本图形.

图1是很常见的相似三角形的基本图形：由∠ABD=∠C，可得△ABD∽△ACB，从而可得AB2=AD·AC.

应用：如图2，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE= 2，ED=4.

（1）求AB的长；

（2）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.

图1

图2

图3

分析：（1）通过观察发现，本图形中有一相似的基本图形（如图3），根据题目中所给出的条件AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，由同弧所对的圆周角相等，得到∠ACB=∠D.

则∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB，则△ABE∽△ADB，则AB2=AE·AD=12.

（2）略.

图4就是一个常见的基本图形：易得△AED∽△BCE.

应用：如图5，点P在矩形ABCD的边AB上运动，连接PC，作PQ⊥PC，垂足为P，已知AB=3，BC=2，设AP=x，△CDQ的面积为S，求S关于x的函数解析式和S的最小值.

图4

图5

分析：根据已知条件可得一对相似的基本图形，即△APQ∽△BCP，则，即点P在AB的中点时，S取得最小值

图6也是很常见的相似三角形的基本图形：

图6

应用：如图7，直线l：y=-x+

14与x轴、y轴分别交于A、C两点，过点B（-2，0）的一条直线l2与直线l1交于y轴上的同一点C，动点P以每秒一个单位的速度由B向A运动，动点Q以每秒两个单位的速度由A向C运动.

图7

（1）求直线l2的解析式；

（2）点A到直线l2的距离为多少？

（3）求证：在线段BC上一定存在点E，使∠PEQ=∠B.分析：（1）和（2）略.

设BE=x，BP=t，AQ=2t，则CQ=5-2t.

2.通过添加辅助线，构造基本图形来解决问题.

有些几何问题所对应的几何图形中，图形不够完善，要添加辅助线构造对应的基本图形.

应用：如图8，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的圆O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交圆O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF.

（1）判断AB与圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若PF∶PC=1∶2，AF=5，求CP的长.

图8

图9

分析：这是泰州市2016年的一道中考题，题目的原型来自于苏科版九年级数学（下），第（2）题的得分率很低，好多平时比较优秀的学生在此题上花费了很多时间都没有做好，原因是学生的思维过度发散，解题的思路不在最近发展区.其实根据条件和结论进行综合分析，发现连接FC，构造如图9所示的基本图形才是解题的关键！

∠CAE=∠ADF，由题（1）可证得∠ADF=∠PCF.

则∠CAE=∠PCF.又∠P=∠P，则△PCF∽△PAC，则PC2=PF·PA.设PF=x，则PC=2x，则（2x）2=x·（x+5），解得x=，则CP的长为.

特别要强调的是，有些题目所提供的图形容易使人产生错觉，这就要求我们有所“感悟”，要有敏锐的几何直观，要根据题意，综合考虑已知条件，添加正确的辅助线构造正确的基本图形.

比如：图10是典型的属于第一类的有关角平分线性质及等腰三角形性质的基本图形.

图10

应用：如图11，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证：∠B+∠D=180°.

图11

图12

图13

在平时的教学中，我发现有不少学生的第一感觉是延长AD、BC相交于E（如图12），如果作以上的辅助线就走入了误区，因为我们无法证明△ABC≌△AEC，正确的方法应是过点C作CE⊥AB于E，CF⊥AD交AD的延长线于F（如图13）.由AC平分∠BAD，得CE=CD.又BC=CD，则Rt△CBE≌Rt△CDF，则∠B=∠CDF.又∠CDF+∠CDA=180°，则∠B+∠CDA=180°.

我们在上面讲过图4所示的基本图形，但有些题目中并没有出现这种图形，这就要求我们根据题中的已知条件构建这种基本图形来解决问题.

应用：如图14，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，如图，折痕为FG，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离ME为2cm，且BG=10，求FH的长.

图14

图15

分析：延长ME与BC边交于N，立即就可以发现如图16所示的基本图形，则△MEO∽△NGE.由题意可知EM=2，则EN= 6.

在Rt△EGN中，由勾股定理，得GN=8.

图16

当然，也可以连接FB、FE，根据FB=FE，求得结果.

总之，通过建构基础知识的基本图形和典型的基本图形，便于学生在自己熟悉的知识的基础之上构建知识，通过对基本图式的感悟，即对图形进行分析、抽象、提炼与概括，既可以帮助学生活化几何知识，提高图形的认知水平；还能在解决复杂的几何问题时，有效提取经验，促进正向迁移.这种把复杂问题转化为简单的基本图形的问题，把陌生问题转化为熟知的基本图形的问题的方法，正是数学思想之所在.我们在平时的教学中，应强化对基本图形的感悟，不断地提升学生的解题能力.