过圆锥曲线上任一点切线的又一尺规作法

在研读完文⑴、⑵、⑶后感受颇多、受益匪浅.自己在教学过程中也发现了利用圆锥曲线的光学性质可快速作过圆锥曲线上任意一点的切线，现与大家一起探讨.

一、圆锥曲线的几个性质

1.椭圆上任一点的两条焦半径的夹角被该点处的法线所平分.

证明：如图（1）设椭圆方程为 ，且 为椭圆上任一点， 是左右焦点，则 ， ，过点 的法线方程为 .令 ，得 ，故法线与 轴交点 的坐标为 .所以 、 .

过点 的法线 平分点 的两条焦半径的夹角.

同理可证：

2.双曲线上任一点的两条焦半径的夹角被该点处的切线所平分.

3.抛物线上任一点的一条焦半径与过此点的直径的夹角被该点处的法线所平分.

证明：如图（2）设抛物线标准方程为 ， 为焦点， 为抛物线上任一点，过点 的切线 的方程为 则切线与 轴交点 的坐标为 .

则 ， ，即 ，故 ，

又 轴，

而 ， 命题得证.

有上述三个性质易得圆锥曲线的一个统一光学性质：

4.若一入射光线所在直线经过圆锥曲线的一个焦点，则反射光线所在直线必经过另一焦点（抛物线的另一焦点可看作在无穷远处）.（如图3、图4、图5）

二、圆锥曲线几个性质的运用

有上面的性质不难利用尺规作出过圆锥曲线上任一点的切线，下面给出尺规作图步骤：

步骤1：连接圆锥曲线上的点 与两焦点 （抛物线的 与对称轴平行）；

步骤2：作 的角平分线 ；

步骤3：若圆锥曲线为双曲线，则直线 即为过双曲线上一点 的切线；

若圆锥曲线为椭圆或抛物线，过点 作 的垂线 ，则直线 为过椭圆上一点 的切线.

说明：若该点 在顶点处时切线即为轴的垂线，此切线不难作出.

过圆锥曲线上任一点作圆锥曲线的切线的方法很多，不过这种方法较为简单快捷，也可作为作圆锥曲线切线的一种较统一的方法.

参考文献：

[1] 季福根. 椭圆切线的尺規作法[J]. 数学通报，2003（11）.

[2] 黄伟亮. 双曲线、抛物线切线的尺规作法[J]. 数学通报，2004（12）.

[3] 吴 进. 一个有趣的发现及其推广[J]. 数学通报，2005（1）.