空间调制系统下的天线选择

蒋汝雯++金宁++王媛++王杰

摘 要：近年来，空间调制（SM）的出现很好地解决了多输入多输出（MIMO）方案的不足，但也存在一定的弊端。该文结合了空间调制和天线选择的优势，回顾了基于欧氏距离最优（EDAS）和信道容量最优（COAS）这两种经典天线选择算法，并对EDAS算法进行了复杂度降低，分别介绍了基于奇异值分解（SVD）、星座图可分性和对称性（RLC-EDAS-SM）的方案，对它们的误比特率（BER）性能和复杂度进行了对比分析。由仿真结果可见，采用EDAS方案的空间调制技术相比于COAS方案、SVD方案和无天线选择的传统空间调制有较大的信噪比增益；而基于星座图可分性和对称性的复杂度降低方案误比特率性能几乎与EDAS方案一致，复杂度却得到了显著降低。

关键词：空间调制 天线选择 误比特率 欧氏距离 复杂度

中图分类号：TN911 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）12（b）-0248-04

空间调制（Spatial Modulation，SM）[1-2]的出现降低了MIMO系统的成本和复杂度，它在任意时隙只激活一根发送天线，避免了信道间干扰（Inter-Channel Interference，ICI）以及发送天线间的同步。激活的天线由传输比特流决定，再结合传统星座图，一部分映射成激活天线的索引，另一部分映射成该激活天线上发射的调制星座点[3]。

虽然空间调制很好地解决了MIMO系统的不足，但它也存在一定的弊端。假设有根发射天线，基于接收端的信道状态信息选出根天线的集合，经过一个理想的反馈通道将子集的索引返回发射端。若采用传统空间调制，必须保证是2的整数次幂。而采用天线选择以后，可以是任意数值，只需使是2的整数次幂，系统设计更加灵活。

天线选择技术在许多方面的应用在国内外都得到了广泛关注与研究。SM系统下有两种基本的天线选择算法，一種是欧式距离最优天线选择（Euclidean Distance optimized Antenna Selection，EDAS），另一种被称为容量最优天线选择（Capacity optimized Antenna Selection，COAS）[5]。随后，基于星座图的可分解性和对称性[6]、奇异值分解[7]、天线相关性[8]、星座分解[9]、调制星座的旋转对称属性[10]等方法，来进一步降低天线选择算法的复杂度。

1 SM系统下两种经典天线选择方案

1.1 基于EDAS的天线选择技术

在空间调制中，输入比特流被分为多个比特的块，其中比特用于选择一个符号s，比特选择一根天线i，用于发送被选择的符号。因此，一个空间调制符号是由发射天线索引和传统符号集中的发送符号组成的。频谱效率可以定义为，其中 M 是调制阶数。因此对比于单天线系统，SM 提供了更高的频谱效率。

对于只有一根射频链的空间调制系统，可以给出系统模型，其中为接收信号向量，ρ为每根接收天线的平均信噪比（Signal-to-Noise Ratio， SNR），表示从单位能量的M-QAM或M-PSK符号集合中选出的随机符号。 是第i根发送天线所对应的第i列信道向量，为噪声向量，噪声向量n和信道矩阵H都遵循的循环对称高斯分布。

从根发送天线中选择根作为发送阵列，其中。列举出所有可能的组合，令表示所有n的集合，在遍历所有可能的发送符号向量后能够使最小平方欧式距离最大化的具体天线集合可以表示成：

（1）

其中代表所有可能的发送向量的集合，可以表示为，其中，是一个维的单位向量，只有在第i个位置有非零值，且。

1.2 基于COAS的天线选择技术

对于一个已经给定的信道实现和信噪比，有根发送天线的SM系统的容量可以界定为a≤CSM≤a=log2NSM，其中 。由此发现可以通过选择根发送天线中最大信道范数对应的根天线，使a最大化。每个时隙都可以在接收端计算出对应于个最大信道范数的天线索引集合，并反馈回发送端。这一集合要求满足：。更多细节详见文献[5]。

1.3 复杂度分析

先通过实数乘法次数来进行复杂度的对比。对于EDAS-SM 算法，由于搜索一次有种可能，对于每一个，共有种组合，因此由计算产生的复杂度阶数为。由于是一个行1列的复向量， 是一个行列的矩阵，相乘后为行1列的向量，对其求F-范数的平方相当于求向量中每一个元素的平方和，两复数相乘需要4次实数乘法。因此，每计算一次所需要的计算复杂度为（4×NSM+4）×Nr。若考虑，整体复杂度为

。COAS-SM算法只要比较信道矩阵范数较大的前根作为最优子集。H有行，求一次范数的复杂度为，共有根发送天线，因此计算复杂度为。

第二种方法是比较浮点数。式（1）基于EDAS算法并采用了全搜索，需要进行次浮点数运算。COAS方案每计算一根发射天线的范数需要进行次复数运算，因此该方案的总复杂度为。

2 基于欧氏距离最优的低复杂度天线选择算法

2.1 基于奇异值分解的天线选择技术

EDAS 算法的复杂性仍然是具有挑战性的。出于这一点，提出了奇异值分解方法，并且相比全搜索和 EDAS，它的复杂度更低。文献[7]中将3种最小平方欧氏距离，分别记作，和。

（2）

其中表示矩阵的最小平方奇异值。因此第l个候选子集的瞬时最小平方欧氏距离可以用公式表示为：

（3）

所选择的天线子集。

2.2 基于星座图可分解性的复杂度降低

当采用的符号集合为一个可分的 QAM 集合时，可以使基于 EDAS 的天线选择方案的复杂度阶数降低到。文献[6]中首先构造了一个上三角矩阵，当时，它的第（i，j）个元素可以定义为；当时，，则。其中是D的一个有个元素的上三角子矩阵。

對信道矩阵进行QR分解，其中Q是一个酉矩阵，即， R是有个元素的上三角矩阵，且它的第、个元素为0。由F-范数酉不变定理可得，当时，D的第个元素可以表示为：

（4）

因此，在和已知的情况下，和可以通过 hard-limiting 直接得到：

（5）

（6）

其中，。

由于需要搜索个值，因此计算的复杂度为。因此，计算D的复杂度，也就是计算的复杂度就为：。

2.3 基于对称性的复杂度降低

对于QAM星座图，其任意两符号之间的最小距离确定为：，因此时，。（4）式计算了所有和。由于，（4）式可以写成：

其中表示 PAM 星座集合的一半。更多细节详见文献[6]。

2.4 复杂度分析

由（2），基于奇异值分解的算法所需要的复杂度分为3部分：符号部分有次浮点运算；空间部分有次浮点运算；根据文献[11]中Householder法的公式（31.4）对奇异值分解的计算，可知联合部分有次浮点运算。因此，总浮点运算次数为。

对于RLC-EDAS-SM方案，在计算矩阵D中的元素时需要次复数运算。计算矩阵D的上三角元素时，要对一个大小为的复矩阵进行 QR 分解，根据文献[11]，每个元素需要次浮点数运算。结合发射天线的组合和发射天线数，则此方案所需要的总浮点运算数为： 次。

若考虑复杂度阶数，LC-EDAS-SM 方案通过将一个 QAM 星座分解为两个PAM星座的笛卡尔积，并对信道矩阵进行 QR 分解，再运用 hard-limiting 对符号进行估计。D是一个上三角矩阵，当时，只需要对进行搜索，另一个符号可直接通过硬限制判决，得复杂度阶数为；当时，两个符号都需要进行搜索，因此复杂度为。所以总的复杂度为。

RLC-EDAS-SM 方案通过符号的镜像对称，即符号取相反时F-范数不变。当时，对其中一个符号的搜索范围由变为了，因此复杂度为；当时，省去了对两个符号的搜索，因此复杂度为。所以总的复杂度为。

3 仿真分析

4 结论

该文主要对多种发射天线选择算法进行了介绍，并对它们的误比特率性能做了仿真对比，主要是比较了传统 SM 系统、采用基于欧氏距离最优、基于信道容量最优和基于奇异值分解天线选择算法的 SM 系统，也对它们的复杂度进行了分析。仿真结果显示，基于欧氏距离最优的天线选择方案接近最大似然的性能，但缺点是复杂度过高；基于信道容量最优的天线选择方案复杂度大大降低，但是系统性能与复杂度却无法得以双全；基于奇异值分解的天线选择方案相对于基于欧氏距离最优的方案而言，复杂度也得到了降低，但也遭受了一些性能损耗。

接着基于星座可分解性和对称性提出了对 EDAS 算法复杂度的降低，并分别对 EDAS-SM 系统、LC-EDAS-SM和 RLC-EDAS-SM 系统进行仿真，比较了它们的复杂度以及误比特率性能。结果表明，LC-EDAS-SM 系统和 RLC-EDAS-SM 系统的复杂度相比于 EDAS-SM 系统得到了显著降低，而性能几乎与之相同。

参考文献

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