DH[a，b]空间上的连续线性泛函的刻划

李 伟

(集美大学理学院，福建厦门361021)

DH[a，b]空间上的连续线性泛函的刻划

李 伟

(集美大学理学院，福建厦门361021)

在Henstock积分的基础上，把在[a，b]上所有Henstock可积函数组成的空间称为Denjoy空间(简记为DH[a，b]空间)，建立Denjoy积分有关的基本概念，给出DH[a，b]空间上的连续线性泛函的一种刻划，并在非绝对型Henstock积分与Riemann－Stieltjes积分之关系定理的基础上，对该连续线性泛函刻划给出一个简捷的证明.

Henstock积分；Denjoy积分；DH空间；广义绝对连续

1957－1958年，J.kurzweil和R.Henstock分别独立建立了一种完全Riemann型的积分[1]，称为kurzweil－Henstock积分[2](简称KH－积分，也简称H－积分).H－积分的本质是“非绝对型”的，因此，有时也称之为非绝对型积分[3].它既推广了Lebesgue积分[4－5]，又包括了Newton积分[6]和反常Riemann积分.把在[a，b]上所有Henstock可积函数组成的空间称为Denjoy空间[7]，简记为DH[a，b]空间.本文首先建立Denjoy积分[8]有关的基本概念，给出DH[a，b]空间上的连续线性泛函的一种刻划，并在文献[1]定理2的基础上，对该连续线性泛函刻划给出一个简捷的证明.

1 预备知识

定义1[8]函数F叫做在集X上严格意义下广义绝对连续，简记AC∗(X)是指，对任意ε>0，存在η>0，对任何不相重叠区间列{[ai，bi]}，ai，bi∈X，且<η时有:其中ω是F在[ai，bi]上的震动量，即ω(F；[ai，bi])＝sup{F(v)－F(u)，u，v∈[ai，bi]}.

定义2[8]函数F叫做在[a，b]上严格意义下推广的广义绝对连续，简记ACG∗(X)是指，[a，b]是闭集列Xi的并，使得F在每个Xi上是AC∗(Xi).

定义3[8]函数f(x)叫做Denjoy意义下[a，b]上可积，是指:存在函数F(x)，它在[a，b]上连续，且是ACG∗(X)，使得它的导数F′(x)＝f(x)在[a，b]上a.e.成立.

可以证明，若f(x)在[a，b]上是Denjoy可积的，则f(x)在[a，b]上也是Henstock可积的，反之亦真.因此，Denjoy积分与Henstock积分等价[9].

定义4[10]设DH为在[a，b]上所有Denjoy可积函数f(x)全体，其范数规定如下:

并视几乎处处相等的函数f(x)和g(x)为相等的，那么DH是线性赋范空间，可以证明DH空间是不完备的且是第一纲的.DH空间上线性泛函H叫做连续的是指当n→∞时，若由‖fn－f‖→0时有:H(fn)→H(f).

2 定理及其证明

引理1(Henstock引理)[8]若f(x)在[a，b]上Henstock可积，且有原函数F(x)，即:

则∀ε>0，∃δ(x)>0，使得对[a，b]上的任何δ(x)精细子分划，即:

且ξi∈[ai，bi]⊂(ξi－δ(ξi)，ξi＋δ(ξi))(注意所谓精细子分划是不要求[a，b]＝∪[ai，bi]的精细分划)有:

证明 由于f(x)在[a，b]上H－可积，故∀ε>0，在[a，b]上有δ(x)>0，凡δ(x)精细分划所对应的积分和，有:

[ai，bi]与ξi已经是δ(x)的精细子分划.再考虑以外的分划.

这样，每个Ji上的δi(x)精细分划，与ai，bi；ξi(i＝1，2，…，n)构成[a，b]上的δ(x)精细分划.从而:

由此可证明下述定理1(证明见文献[1]中的定理2).

定理1[11]设函数g(x)在[a，b]上为有界变差函数，即g(x)∈V[a，b](简记g∈BV)，而F(x)为[a，b]上Henstock可积函数f(x)的原函数，

其中右边指Riemann－Stieltjes积分(简称RS－积分).

下面给出本文的主要定理，并给出简捷证明.

定理2 设H是空间DH[a，b]上的连续线性泛函，则存在[a，b]上的有界变差函数g，对空间DH中的任何函数f，都有:

证明 令G(x)＝H(fx)，其中:

规定当x>b时，fx＝fb.这样G(x)在b的右边作一定的延拓.

首先证明g∈BV.任给一分割:a＝x0

假设ξi≠ξi＋1，否则可去掉ξi＋1，F(xi＋1)－F(xi)变为F(xi＋2)－F(xi).

[1] 李成章.数学分析(上册)[M].2版.北京:科学出版社，2016:196－201.

[2] HENSTOCK R.Lectures on the theory integration[M].Singapore:World Scientific，1988:13－19.

[3] 田菊蓉，李岚，闫焱.非绝对积分与绝对积分的关系[J].西安联合大学学报，2004，7(2):35－39.

[4] DONALD L COHN.Measure Theory[M].Cleveland:The world book publishing company，2012:75－78.

[5] 王晶昕，王炜，任咏红.实变函数论[M].北京:科学出版社，2016:68－86.

[6] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].7版.北京:高等教育出版社，2014:238－243.

[7] 丁传松，李秉彝.广义黎曼积分[M].北京:科学出版社，1989:5－8.

[8] LEE PENG YEE.Lanzhou Lectures on Henstock Integration[M].Singapore:World Scientific，1989:15－65.

[9] 赵鸿丽.关于Henstock积分[J].重庆职业技术学院学报，2006，15(6):154－156.

[10] 夏道行，吴卓人.实变函数论与泛函分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社，2010:13－56.

[11] 李伟.非绝对型Henstock积分与Riemann－Stieltjes积分之关系[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2015，33(2):127－129.

责任编辑:高 山

Continuous Linear Functional Score on the Space of DH[a，b]

LI Wei
(School of Sciences，Jimei University，Xiamen 361021，China)

On the basis of Henstock integration，put all the integrable functions that make up the space on the[a，b]called Denjoy space(abbreviated as DH[a，b]space)，to establish the basic concepts related to Denjoy integration，to give a score of continuous linear functional on the DH[a，b]space.And in the absolute type of Henstock integral and Riemann－Stieltjes integral relationship on the basis of the theorem，to give a simple proof of this continuous linear functional score.

Henstock integral；Denjoy integral；DH space；generalized absolutely continuous

O171

A

1008－8423(2017)01－0053－03

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.012

2016－09－21.

福建省自然科学基金项目(2016J01667).

李伟(1962－)，男，副教授，主要从事函数论的研究.