多元copula分布函数在小流域设计洪水频率分析中的应用研究

刘长君

（辽宁省沈阳水文局，辽宁沈阳110043

多元copula分布函数在小流域设计洪水频率分析中的应用研究

刘长君

（辽宁省沈阳水文局，辽宁沈阳110043

本文采用多元copula分布函数对辽宁地区小流域设计洪水进行频率分析。研究结果表明：多元copula分布函数可结合分析样本数据点采用多参数进行分布曲线的调整，适用性好于单要素分布函数；在区域洪水频率计算中，多元copula分布函数计算值总体上小于单要素分布函数，且设计值均较为合理。研究成果对于区域小流域设计洪水频率分析方法提供参考价值。

多元copu la分布函数；单要素分布函数；设计洪水频率分析；小流域

中小河流治理工程需要对小流域的设计洪水进行频率分析，结合分析的设计洪水成果再对中小河流河道提防高度进行设计，而设计洪水的合理性对于河道提防设计至关重要，而区域洪水频率分析是设计洪水计算的关键，为此有许多学者对区域设计洪水频率分析进行相关研究，并取得一定研究成果［1-6］，但是成果大都为单要素分布函数进行洪水频率分析，而单要素分布函数计算参数较为单一，存在适用局限的问题。当前，多元copula函数在经济流域以及海潮频率分析中得到具体应用［7-10］，但是在设计洪水频率分析中应用还较少，特别是在辽宁地区小流域设计洪水频率分析中还未进行具体应用，为此本文引入多元copula函数，对辽宁地区小流域设计洪水频率进行分析，分析多元copula函数在辽宁地区小流域设计洪水频率分析的适用性。

1 多元copu la函数计算原理

多元Copula函数设定模型计算变量X和Y的概率分布密度函数，并计算概率密度分布H（X，Y）对应的Copula函数C（u，v），函数计算方程为：

式（2）和（3）中u和v表示为计算的C（u，v）函数中的边际概率分布函数；FX和FY表示为C（u，v）函数条件分布概率函数。

本文结合多元Copula函数对小流域设计洪水频率进行分析，其中应用变量CG、CC1以及CF来代表模型的特征计算函数，α、β、λ分别代表特征函数的计算参数，τ代表Kendall模型计算的自相关系数，τ计算方程为：

计算完成多元Copula函数的τ值后，需要对模型进行K-S检验，K-S检验公式为：

式中，Cemp、Ci表示自相关检验的变量函数。

多元Copula函数设计洪水计算步骤为第一步计算不同变量的边缘概率分布函数，计算方程为：

式中，α、β、α0表示为模型计算的形状系数；x表示为设计洪水样本数据；Γ（α）为模型计算的Γ函数。

在计算过程中对于相邻时间尺度的概率条件分布函数的计算方程为：

式中，ut，n+1表示为前一个时间尺度的设计洪水频率值；St，St-1表示为计算时间尺度下的设计洪水频率的概率分布密度函数；xt，n+1为设计洪水频率值；Ft表示为模型设计洪水概率分布函数。

在对模型变量概率密度计算后，需要对模型设置信度区间，计算方程为：

图1 不同参数下多元copula分布函数频率曲线

式中，uup、ulow分别表示模型置信度上限和下限，St、Ft同方程（7）变量意义，xup、xlow模型变量置信度上限和下限。

2 在区域小流域设计洪水频率分析中的应用

2.1 设计区域概况

本文选取辽宁10个小流域设计洪水进行频率分析，10个区域洪水资料的系列均值55年以上，且对模型洪水数进行水文数的可靠性、一致性的检验，结合设计区域的洪水数据，采用多元copula函数进行设计洪水频率的分析，并对比了单要素分布函数的设计洪水成果。

2.2 不同参数值下多元copula分布函数频率适线分析

为分析不同参数下多元copula分布函数的洪水频率适线结果，结合设计区域洪水资料，分别分析了四组参数下的多元copula分布函数频率曲线，结果见图1。

图1为不同参数下多元copula分布函数频率曲线，从图中可以看出，当β=0.5，a=0.3～0.4时，多元copula分布函数的形状变化较小，但是在低频率区域，随着a的增大其设计值变大，而当a=0.5，β=0.6～0.9时，多元copula分布函数的形状变化较为明显，可见β值的变大对多元分布函数的形状的影响要大于a的变化，且在高频率区域，随着β的增大其设计频率值呈现逐渐减小的规律。

2.3 不同分布函数在小流域设计洪水频率分析结果对比

分别采用单要素分布函数和多元copula分布函数对不同设计区域的设计洪水进行频率分析，结果见表1和表2。并对比不同函数在不同参数下的洪水频率曲线，结果见图2。

表1 单要素分布函数下不同计算区域设计洪水计算成果

表2 多元copu la分布函数下不同计算区域设计洪水计算成果

表1和表2分别为不同分布函数进行的区域设计洪水频率分析结果，从表中可以看出，采用多元copula分布函数计算的设计洪水频率结果总体上要小于采用单要素分布函数计算的不同区域设计洪水成果，这主要因为单要素分布函数主要采用单一参数进行设计洪水频率分析，而多元copula分布函数可结合数据特征点进行设计洪水频率分析，计算结果总体要小于单要素分布函数的设计洪水频率结果。图2为不同分布函数在不同参数下的频率分布曲线对比，从图中可以看出，随着参数值的加大，不同分布函数下的设计洪水频率曲线越接近。这主要是因为随着参数值的加大，多元copula分布函数方程越来越接近单要素分布函数方程。

2.4 设计洪水频率合理性检查

在不同分布函数设计洪水频率分析的基础上，结合各设计区域的面积和设计洪水频率分析成果，绘制不同频率下各设计洪水成果和区域面积的次方关系图，对采用多元copula分布函数的设计洪水成果进行合理性检查。具体分析结果见图3。

图2 不同分布函数在不同参数下的频率分布曲线对比

图3 多元copu la函数分布下区域设计洪水频率合理性检查结果

图3 为采用多元copula分布函数进行区域洪水频率分析合理性检查结果，从图中可以看出，不同频率下各设计洪峰成果和区域面积的关系基本呈现一条直线，本文选取的10个区域为上、下游关系，从图中可以看出采用多元copula分布函数进行区域设计洪水成果和区域面积之间的关系符合区域设计洪水上、下游设计洪峰随面积变化的规律，因此多元copula分布函数在区域设计洪水成果偏差较小，较为合理。

3 结论

本文采用多元copula分布函数对辽宁小流域设计洪水进行频率分析，研究取得以下结论。

（1）多元copula分布函数频率曲线可用于区域小流域设计洪水频率分析，适用性好于单要素分布频率曲线；

（2）多元copula分布函数频率曲线形状受参数β影响明显高于参数α，随着α值加大，其低频设计值增加，而β加大，其高频设计值逐渐减小。

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1008-1305（2016）06-0066-05

2016-12-08

刘长君（1971年—），男，工程师。