复合场问题的题型归类与解题策略

郑行军

复合场是指电场、磁场、重力场在同一空间并存，或者是其中两种场并存的场，带电体在这些复合场中运动时，可能同时受到几种不同性质的力的作用.这类问题巧妙地把电场、磁场和重力场的概念与牛顿运动定律、动能定理等力学、电学等知識有机地联系在一起， 并应用数学工具求解，知识面广， 综合性强， 是高中物理的重点内容， 也是学习的难点.本文从模型化的角度对中学阶段可能出现的题型进行整理和归类，并提出相应地解题策略，希望对学习能有所帮助.

一、命题构建及解题策略研究

1.复合场的组合模式分类

（1）电场与磁场的组合；

（2）磁场与重力场的组合；

（3）电场与重力场的组合；

（4）电场、磁场与重力场的组合.

带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力和初速度， 因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来分析.

2.轨迹模型的构建及解题策略

（1）带电体在复合场中做直线运动

解题策略 当带电体在复合场中做直线运动时，隐含条件往往是带电体受到的合力为零（以匀强磁场模型为命题条件构建）或某一方向合力为零（以非匀强磁场模型为命题条件构建），故在处理此类问题时，可根据平衡条件列方程求解.

（2）带电体在复合场中做匀速圆周运动

解题策略 匀速圆周运动中，带电体所受的合力方向应始终指向圆心， 合力大小F合=F向，故动力学特点有：

①非径向力（如重力、电场力）会相互平衡；

②径向力（如洛伦兹力、轻绳的拉力等）的合力提供向心力，在处理时可综合应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解.

（3）带电体在附加接触面上运动

解题策略 在附加接触面（如带电体在水平面上或斜面上运动、套在杆上运动等）上运动时，带电体受力情况比较复杂， 运动情况多变，运动过程往往出现临界问题， 这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“ 至少”等词语为突破口，对带电体进行动力学动态分析，并根据临界条件列出辅助方程， 再与其他方程联立求解.

（4）带电体在复合场中做变加速曲线运动

解题策略 在变加速曲线运动中，加速度是一个变量，故不能从运动学角度分析，考虑到洛伦兹力做功的特点，可选用动能定理或功能关系方程求解.

二、例题赏析

如图1所示，在真空中半径为r=0.1 m的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场及水平向左的匀强电场，磁感应强度B=0.01 T，ab和cd是两条相互垂直的直径，一束带正电的粒子流连续不断地以速度v=1×103 m/s从c点沿cd方向射入场区，粒子将沿cd方向做直线运动，如果仅撤去磁场，带电粒子经过a点，如果撤去电场，使磁感应强度变为原来的12，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）.A.电场强度的大小为10 N/C

B.带电粒子的比荷为1×106 C/kg

C.撤去电场后，带电粒子在磁场中运动的半径为0.1 m

D.带电粒子在磁场中运动的时间为7.85×10-5 s

解析 两种场都存在时，由粒子运动条件，穿过磁场时应做匀速直线运动.对带电粒子受力分析，根据平衡条件得qE=qvB，解得E=vB=10 N/C，A项正确；带电粒子仅在电场中运动时，竖直方向上r=vt，水平方向上r=12at2，由牛顿第二定律a=qEm，联立解得qm=2vBr=2×106 C/kg，B项错误；撤去电场后，带电粒子在磁场中运动的半径R=

mvqB1=0.1 m，

C项正确；画出粒子的运动轨迹得粒子在磁场中运动了四分之一个周期，T=2πRv，因此运动的时间t=14T=πR2v=1.57×10-4s，D项错误；正确答案为AC.

例2 如图2甲所示，绝缘轻质细绳一端固定在方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场中的O点，另一端连接带正电的小球，小球电荷量q=6×10-7C，在图示坐标中，电场方向沿竖直方向，坐标原点O的电势为零.当小球以2 m/s的速率绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动时，细绳上的拉力刚好为零.在小球从最低点运动到最高点的过程中，轨迹上每点的电势φ随纵坐标y的变化关系如图2乙所示，重力加速度g=10 m/s2.则下列判断正确的是（ ）.图2

A.匀强电场的场强大小为5×106 V/m

B.小球重力势能增加最多的过程中，电势能减少了2.4 J

C.小球做顺时针方向的匀速圆周运动

D.小球所受的洛伦兹力的大小为0.03 N

解析 据题意和乙图可知，E=φd=φR

=5×106V/m，故A正确；据匀速圆周运动的动力学特点，小球所受的电场力大小等于重力，洛伦兹力提供向心力，所以小球重力势能增加最多时，电势能减少最多，大小为：2qφ=2×6×10-7×2×106=2.4 J，故B正确；洛伦兹力提供向心力，据左手定则可知，小球做逆时针运动，故C错误.

由以上分析可知：mg=Eq，f=qvB=mv2r

联立以上解得：f=3N，故D错误.

正确答案为：AB.

例3 如图3所示，空间存在一水平向的匀强电场和一水平方向的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，电场强度大小为E=3mgq，电场方向和磁场方向相互垂直.在此电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成60°夹角且处于竖直平面内.一质量为m，带电量为+q的小球套在绝缘杆上.若给小球一沿杆向下的初速度v0，小球恰好做匀速运动，且小球电量保持不变，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）.

A.小球的初速度为v0=2mgqB

B.若小球的初速度为3mgqB，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止

C.若小球的初速度为mgqB，小球将做加速度不断增大的减速运动，最后停止

D.若小球的初速度为mgqB，则运动中克服摩擦力做功为m3g22q2B2

解析 对小球进行受力分析如图4，电场力的大小：F=qE=q×3mgq=3mg，

由于重力的方向竖直向下.电场力的方向水平向左，二者垂直，合力：FG+F=F2+mg2=2mg，由几何关系可知重力与电场力的合力与杆的方向垂直，所以重力与电场力的合力不会对小球做功，而洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，所以也不会对小球做功.所以，当小球做匀速直线运动时，不可能存在摩擦力，没有摩擦力，说明小球与杆之间就没有支持力的作用，则洛伦兹力大小与重力、电场力的合力大小相等，方向相反，所以qv0B=2mg，所以v0=2mgqB，故A正确；若小球的初速度为3mgqB，则洛伦兹力：f=qv0B=3mg>FG+F，则在垂直于杆的方向上，小球还受到杆的垂直于杆向下的支持力，则摩擦力：f=μFN.小球将做减速运动；随速度的减小，洛伦兹力减小，则支持力逐渐减小，摩擦力减小，小球做加速度不断减小的减速运动，最后当速度减小到2mgqB时，小球开始做匀速直线运动，故B错误；若小球的初速度为mgqB，则洛伦兹力：f=qv0B=mg

例4 如图5所示，半径为R的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于轨道平面向里.一可视为质点、质量为m、电荷量为q（q>0）的小球由轨道左端A无初速滑下，当小球滑至轨道最低点C时，给小球再施加一始终水平向右的外力F，使小球能保持不变的速率滑过轨道右侧的D点.若小球始终与轨道接触，重力加速度值为g，则下列判断正确的是（ ）.

A.小球在C点受到的洛伦兹力大小为qB2gR

B.小球在C点对轨道的压力大小为3mg+qB 2gR

C.小球从C到D的过程中，外力F的大小保持不变

D.小球从C到D的过程中，外力F的功率逐渐增大

解析 小球在轨道中做变速圆周运动，可从动能定理入手分析，由于洛伦兹力始终对小球不做功，故洛伦兹力不改变小球速度的大小，从A点运动到C点的过程中只有重力做功，根据动能定理得：mgR=12mv2，解得：v=2gR，故小球在C点受到的洛伦兹力大小为f=qBv=qB2gR，故A正确；由左手定则可知，小球运动到C点时若受到的洛伦兹力的方向向上，则有：N+qvB-mg=mv2R，解得：N=3mg-qvB，故B错误；小球从C到D的过程中，洛伦兹力和支持力沿水平方向的分力增大，所以水平外力F的增大.故C错误；小球从C到D的过程中小球的速率不变，而洛伦兹力和支持力不做功，所以小球的动能不变，拉力F的功率与重力的功率大小相等，由运动的合成与分解可知，小球从C向D运动的过程中，竖直方向的分速度越来越大，所以重力的功率增大，所以外力F的功率也增大，故D正確；正确答案为AD.

带电体受洛伦兹力在内的多个力作用时是复杂的综合性力学问题， 研究带电体在复合场中的运动，关键是分析其运动轨迹及运动规律，再根据几何关系和物理规律求解.

课题项目：本论文系福建省教育科学“十三五”规划课题“互联网+物理习题的教学设想与实践探究”阶段性研究成果，课题编号：FJKYJD16-29