数学教学中一种特殊形式的发散思维能力的培养

吴建强

【摘要】利用概率的加法公式和乘法公式，给出了二项式定理的一种新的证明方法；通过一些例子，说明如何应用数学期望及方差的性质求某些数列与级数的和，如∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k与∑∞k=1k6k（k-1）！等.借此介绍一种特殊的发散思维形式，说明它在数学教学与创新能力培养中的重要性，以及如何培养这种特殊形式的发散思维能力.

【关键词】概率的性质；二项式定理；级数的和；发散思维能力

【基金项目】广东省高等数学精品资源共享课立项项目（2013）

一、利用概率的性质推导二项式定理

设一个系统由n个元件并联而成，每个元件的可靠度（元件正常工作的概率）均为p（0

再把p=ab代入（1）式，同样可以得到（2）式.如果以b替换（2）式中的-b，（2）式将变为具有一般形式的二项式定理.

上述推导的依据是概率的加法公式及乘法公式，而概率的加法公式及乘法公式又可以由概率的公理化定义推导出来，那么从这个意义上讲，二项式定理可以看作是概率公理化定义的一个推论.因此，这是二项式定理的一种有新意的推导方法.

二、利用数学期望和方差的性质求和举例

数列前n项和的求法有多种，如裂项求和法、“q倍减”求和法、“倒序加”求和法等，數列前n项和也可以利用差分方程计算.级数的和有时可用幂级数的可导性与可积性求出来.有别于这些常见的求和方法，下面通过例子说明如何应用数学期望及方差的性质求某些数列与级数的和.

例题计算：

（1）∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k；（2）∑∞k=1k6k（k-1）！.

解（1）设随机变量X～Bn，14，则

E（X）=n4，D（X）=316n.

从而由方差的简算公式得

E（X2）=D（X）+E2（X）=316n+116n2=116n（n+3）.

相应地

E[X（X-1）]=E（X2-X）=E（X2）-E（X）

=116n（n+3）-n4=116n（n-1）.

但是，按照离散型随机变量函数的数学期望的计算公式，则有三、对二项式定理的推导及上述例子中一种特殊的发散思维形式的说明

本文中二项式定理的推导，和∑nk=2k（k-1）Ckn3n-k与∑∞k=1k6k（k-1）！的计算，它们的思路是相同的：对于某个数量A，用两种不同的方法计算，分别有A=B与A=C，从而得到所要的B=C.它是一种特殊形式的发散性思维，须打破思维定式，积极展开联想，并从两个不同的方向进行创造性思考.数学中的很多定理、公式都是利用这种方法得到的，如平面几何中的勾股定理、微积分学中的二重积分的计算公式与格林公式、三角学中的和角公式、概率统计中常用的概率计算公式p{a

【参考文献】

[1]同济大学概率统计教研组.概率统计[M].第4版.上海：同济大学出版社，2009.

[2]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.