罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法

邱永利

【摘要】本文介绍了罗尔定理应用中构造辅助函数的两种方法——导数法和常数法.

【关键词】罗尔定理；辅助函数；构造

【项目】河套学院教学研究项目（HTXYJY16001）

微分中值定理是溝通导数值与函数值的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数整体性质的工具.罗尔定理是微分中值定理的基础定理.在罗尔定理的应用过程中，构造辅助函数是重点，也是难点.构造辅助函数的方法很多，为了与教材同步，便于学生理解掌握，这里只介绍两种辅助函数构造方法：导数法和常数法.

一、导数法

所谓导数法就是应用我们熟悉的导数知识构造辅助函数的方法.具体地，将要证明的结论中的ξ换为x，移项使结论变为f′（x）=0的形式，需要找到一个函数F（x），使其导数为f（x）或f（x）的一个因式.

情形1结论为ξf′（ξ）=λ的形式.

[f（x）-λlnx]′=f′（x）-λx=xf′（x）-λx，当[f（x）-λlnx]′x=ξ=0时，[xf′（x）-λ]x=ξ=0，可构造辅助函数F（x）=f（x）-λlnx.

例1设0

证明将待证结果变形为ξf′（ξ）=f（b）-f（a）lnb-lna，

设辅助函数F（x）=f（x）-f（b）-f（a）lnb-lnalnx，F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，并且F（a）=F（b）=f（a）lnb-f（b）lnalnb-lna，由罗尔定理可知，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得F′（ξ）=f′（ξ）-f（b）-f（a）（lnb-lna）ξ=0，即 f（b）-f（a）=ξf′（ξ）lnba.

情形2结论为nf（ξ）+ξf′（ξ）=0的形式[1].

[xnf（x）]′=nxn-1f（x）+xnf′（x）=xn-1[nf（x）+xf′（x）]，

当[xnf（x）]′x=ξ=0时，[nf（x）+xf′（x）]x=ξ=0（x≠0）.

可构造辅助函数F（x）=xnf（x）.

例2已知函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f（1）=0.

证明至少存在一点ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

证明将结果变形为2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，设辅助函数F（x）=x2f（x），F（x）在[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0，由罗尔定理可知，

2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，即f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

情形3结论为f′（ξ）+λf（ξ）=0的形式[1].

[eλxf（x）]′=λeλxf（x）+eλxf′（x）=eλx[λf（x）+f′（x）].

当[eλxf（x）]′x=ξ=0时，[λf（x）+f′（x）]x=ξ=0（eλx>0）.

可构造辅助函数F（x）=eλxf（x）.

例3已知函数f（x）在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且f（0）=f（a）=0.

证明至少存在一点ξ∈（0，a），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0.

证明设辅助函数F（x）=e-2xf（x），显然，F（x）在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且F（0）=F（a）=0，由罗尔定理知，在（0，a）内至少存在一点ξ，使得

F′（ξ）=-2e-2ξf（ξ）+e-2ξf′（ξ）=0，

e-2ξ[-2f（ξ）+f′（ξ）]=0，即f′（ξ）-2f（ξ）=0.

二、常数法

所谓常数法就是首先将结论变形，使常数部分分离出来并令其为常数k，然后通过恒等变形，使等式一端为a及 f（a）的代数式，另一端为b及f（b）的代数式，观察关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式.若是，只需将a写成x，f（a）改写成f（x），换变量后的端点表达式即为辅助函数F（x）.

例4设a>0，b>0，试证存在ξ介于a，b之间，使得aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

证明将结论变形为（1-ξ）eξ=aeb-beaa-b，

令aeb-beaa-b=k，

则eaa-ka=ebb-kb，设F（x）=exx-kx，显然F（x）满足罗尔定理条件，由罗尔定理可知，至少存在一点ξ介于a，b之间，使得F′（ξ）=ξeξ-（eξ-k）ξ2=0，

ξeξ-eξ+k=0，即aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

【参考文献】

[1]王兰芳.例谈中值定理应用中辅助函数的引入[J].高等数学研究，2011（1）：32-33.