浅谈函数的微分及其应用

高新涛

摘要：函数微分是高等数学中一个比较重要的概念，它在数学、工程计算、物理等专业中有许多非常重要的应用。利用微分往往可以把一些复杂的计算用简单的近似来代替，这一过程在一些工程计算中特别重要。本文主要介绍微分的概念、定理及其应用。

Abstract： Function differential is one of the important concepts in higher mathematics. It has many applications in some areas， such as maths， engineering， physics and so on. Differential often translates complex calculation into simple approximate calculations，which is particularly important in engineering. This paper will describe some applications of the differential in approximate calculations.

關键词：函数微分；应用；近似计算

Key words： function differential；application；approximate calculation

中图分类号：O155 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）05-0191-02

0 引言

在高等数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。当函数自变量的取值作足够小的改变时，微分可以近似地描述函数的值变化情况。

在文献[1]中作者给出函数微分的概念：设函数y=f（x）在∪（x0，δ）内有定义，给自变量一个增量Δx，如果相应的函数值增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）能表示为Δy=AΔx+o（Δx），其中A是与Δx无关的常数，则称函数f（x）在点x0处可微，并称AΔx为f（x）在点x0处的微分，记为dy│■=AΔx。特别地，当y=x时，有dy=dx=Δx，故函数f（x）点x0处的微分也可以写成dy│■=Adx。同时文献[1]介绍判断函数微分存在的重要定理：函数f（x）在点x0处可导的充分必要条件是函数f（x）在点x0处可微，并且dy│■=f'（x0）Δx。

本文主要通过具体的实例介绍了函数微分在计算函数增量的近似值、函数的近似值及误差分析中的应用。将微分法应用到近似计算及误差分析中，方法简单、易懂。

1 微分的应用

由微分的几何意义可知微分是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一种与求导密切相关的运算，同时又表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为原函数数值的近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。下面我将介绍微分在近似计算中的几个简单应用。