数学分析教学中如何突出数学建模思想

支 路，徐美进，吴金霞

(辽宁工业大学，辽宁锦州121000)

0 引言

数学分析是大学本科数学专业最重要的基础课之一，其中所体现的微积分思想更是各学科不可或缺的理论基石，有着最为广泛的应用．对于刚入学的新生来说，数学分析课程中的诸多分析性质、分析思想往往难以融会贯通，这样一来势必会减弱学生的学习兴趣，进而影响学习效果．在数学分析课程的教学中将数学建模方法融入进来，通过对实际问题的分析，可使学生对理论的实际应用有直观、深入的认识，有利于学生掌握理论知识，提高数学实践能力．另外，将数学建模方法融入数学分析教学中，还可激发学生学习数学的积极性，提高学生的数学素养．因此，在数学分析教学中突出建模思想是十分必要的．

1 通过实际问题引入数学概念

数学概念大多来源于生活实际，因此从实际问题入手引入数学概念[1]，既能提高学生的学习兴趣，又能为数学建模思想的融入提供机会．分析具体的问题，并把其转化为数学思想，再找出解决方法，最后引入数学概念，这个过程本身就是一次数学建模[2]．

如在离散与连续的概念教学中[3]，可举芝诺悖论中的例子：一个物体从空间中的一点运动到另一点，可以看做是从线段的一端到达另一端，这意味着该物体必须通过空间中无穷多的点，而在有限的时间内，物体不可能通过空间中无穷多的点．要解释它，科学家们前仆后继用了两千多年的时间，虽然还有诸多理论不够完善，但至少体现了人类追求真理、不畏险阻的科学精神．解决芝诺悖论的功劳不能算在某一个人的头上．从牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)建立微积分，直到20世纪初叶柯西(Cauchy)、 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、狄利克雷(Dirichlet)、康托 (Cantor)、 爱因斯坦(Einstein)和勒贝格(Lebesgue)的数学研究，都为此做出了实质贡献．而悖论本身所体现的本质问题正是有限与无限、离散与连续等分析课程中的理论基石．

又如在讲授零点定理的概念时，可结合“椅子四腿着地模型”进行教学：在不平的地面上放把椅子，一般情况下只有三只脚着地，然而只需要挪动几次，就可以使四只脚同时着地，椅子被放稳了．这个现象很平常，看来似乎与数学无关，但实际上它却可以用数学语言予以表述，并用数学方法来证实．解决它的关键是如何用数学语言表示四只脚同时着地的条件与结论．

首先设定地面沿任意方向无间断，为空间连续曲面．如图1所示，A、B、C、D为四个椅脚，绕中心(正方形)旋转之后位置变化，用旋转角度θ表示椅子旋转后的位置，再用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离．当距离都为0时，表示椅脚着地了．由于正方形具有中心对称性，因此只要设两个距离函数即可，记A、C与地面距离之和为f(θ)，B、D与地面距离之和为g(θ)，显然f(θ)、g(θ)≥0．由于f,g都是连续函数，且f(θ)、g(θ)至少有一个为0，因此当θ=0时，不妨设g(θ)=0，f(θ)>0，于是原问题就归结为如下命题：

命题已知f(θ),g(θ)是θ的连续函数，对任意θ，f(θ)·g(θ)=0，且g(0)=0,f(0)>0，则存在θ0，使g(θ)0=f(θ)0=0．

将椅子旋转90°，AC与BD位置互换，由g(0)=0,f(0)>0可知g(π/2)>0，f(π/2)=0．令h(θ)=f(θ)-g(θ)，则h(0)>0,h(π/2)<0，由f,g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在θ0(0<θ0<π/2)使h(θ0)=0，g(θ0)=f(θ0)，由g(θ0)·f(θ0)=0，所以g(θ0)=f(θ0)=0． 这个例子非常直观，运用零点定理巧妙地解决了问题．

2 课外作业中适当加入基本的数学建模问题

在不影响正常教学进度的情况下，为使学生逐渐增强对具体问题的分析能力，并能根据问题主动寻求解决方法，可在课外作业中适当加入基本的数学建模问题，与知识点有机地结合起来，以适应学生能力增长这一循序渐进的过程．比如在讲解重心问题时，教师可在课后给出一些平面直角坐标系下的离散点坐标，让学生根据坐标和所学公式判定重心(巩固课堂知识)，再逐步加权(增加附加条件)．每当条件增加后，就要进一步优化重心公式，以适应新的要求，最终确立重心坐标．这种阶段性思维，正是理科教学的精髓，对学生的逻辑构建至关重要．再比如在条件极值的教学中，教师可以尝试选取一些多年的经济指标数据，应用最小二乘法进行回归分析，这一方法很有实际意义，可灵活运用在多方面，也有利于学生发散性思维的形成． “学以致用”，通过平时的练习，学生逐步养成主动思维的习惯，更好地实现对所学知识的认识与应用．这一点对学生学习能力与自信心的提高，无疑是巨大的帮助．

3 将数学建模思想逐步融入到数学分析考核中

目前，数学分析课程考试方法改革正在进行，在保证期中、期末两次考试的基础上，每学期又增加平常考核两次，由此可见这门课程的重要性．在三个学期的数学分析课程教学中，可以考虑安排一次难度适中的数学建模测试，或者在阶段测试中设置一些简单的建模应用问题，以便教师了解学生对之前所学数学建模的掌握情况，尤其是对数学分析各知识点间灵活运用的能力情况．通过这样的考核，能体现出理科基础课程的重要性，会促使学生对数学分析这门课程更加重视，学习效果自然会大幅度提升．

4 在业余时间建立数学建模小组

建立数学建模小组对学生学习数学分析课程的帮助是直接的，越早建立对成员能力的提高影响越大．通过三个学期的数学分析教学，教学方式的改变使得学生能够提前了解建模思想．在课余时间，学生通过小组成员的共同努力，集思广益，讨论分析建模问题，并且逐步形成分工明确的建模小组．数学建模小组的建立，不但使学生对分析课程的理解更加深入，而且使学生的数学应用能力能得到提高，更重要的是建立起一种良好的学习机制，培养学生的团队意识和合作精神，为参加学校、国家的建模竞赛打下良好的基础，更为今后步入社会、迎接新的挑战迈出坚实的一步．

5 结语

现如今，很多基本的数学分析方法已经被广泛地应用在科学分析的各个领域，数学正以其空前的广度和深度向其他科技领域渗透．作为理科基础性课程的数学分析，其传统的教学方式必须打破．“授人以鱼不如授人以渔”， 借助数学建模思想可以实现对知识点的全方位认知，这对学生的专业能力以及独立思考能力的提高都有着积极意义．因此，数学分析教学中应突出数学建模思想，既要体现在课堂上，也要体现在课下，以提高数学分析教学效果．