电池放电问题数学模型的建立与求解

张儒奎

(陇南师范高等专科学校， 甘肃成县 742500)

电池放电问题数学模型的建立与求解

张儒奎

(陇南师范高等专科学校， 甘肃成县 742500)

本文利用最小二乘法并结合电磁学知识，对铅酸电池放电问题建立了数学模型并进行了求解．

电池放电；最小二乘法；回归分析

0 引言

铅酸电池作为电源在工业、 军事及日常生活中有着广泛的应用. 电池充电完成后， 在以恒定电流放电过程中， 使负荷继续工作时间的计算是一个必须考虑的复杂但实际的问题. 铅酸电池在放电过程中， 电压随放电时间单调下降. 本文根据采样数据[1]， 利用最小二乘法并结合电磁学知识， 建立数学模型， 对电池放电时间进行了详细的研究.

1 模型要解决的问题

本文建立的模型要解决与电池放电相关的三个问题. 问题1： 依据模型得出不同电流下， 电池的放电曲线， 求出平均相对误差(MRE)， 并根据所建立的模型， 计算以电流为30A、 40A、 50A、 60A和70A放电， 当电压达到9.8V时， 各自的剩余放电时间； 问题2： 计算电流在20～100A之间任意数值时的放电曲线， 然后用MRE评估模型精度， 并求得电流为55A时放电曲线及U-t数据； 问题3： 依据采样数据， 预测电池在第3种衰减状态时的剩余放电时间.

2 模型建立与问题求解

2.1 模型建立与问题求解

电池放电时， 电压随放电时间单调下降， 也就是说， 放电曲线是线性问题. 在分析线性问题时， 通常采用最小二乘法对变量进行拟合， 从而得到变量的线性表达式.

2.1.1 最小二乘法原理

(1)

(2)

b称为回归系数.

变量U，t之间的线性关系密切度用相关系数rtU来反应， 定义：

(3)

2.1.2 问题1的求解

(1) 模型建立与求解.

对采样数据分析， 可得到I=30A、 I=40A、I=50A、 I=60A、 I=70A时U-t图像， 如图1所示.

令

U=a+bt

(4)

(2)曲线拟合及放电时间求解

利用求解参数a,b及采样时间t， 对电池电压模拟数据和采样数据进行比对， 如图2所示.

注： 表1中字母E-004指10-4， 为方便比对， 未作修改， 下同.

由图2可知， 拟合曲线和采样曲线重合度较高， 也就是说， 该模型能较好地反应电池在I=20A、 I=30A、 I=40A、 I=50A、 I=60A、 I=70A、 I=80A、 I=90A、 I=100A放电时的实际U-t关系. 需要说明的是， 图2只给出了I=30A及I=60A两种情况的拟合曲线， 其他情况由该模型均能够得出， 并且曲线相似， 均能够较好的重合.

当电压U=9.8V时， 由模型及采样数据得出的剩余放电时间如表2所示.

由表2可知， 由该模型得出的当电压U=9.8V时， 电池能够继续放电的拟合时间与采样数据得出的实际数值能够较好的匹配， 具有较好的可信度.

2.1.3 问题2的模型建立与求解

(1)模型建立

将该铅酸电池视为电容， 由于电池为同一批次生产， 电池所能够容纳的电荷量Q不变. 由电磁学知识

(5)

(6)

已知， 该电池Um=9V， 从采样数据分析， 并求均值可得出新电池电压U0=11.1292V， 则ΔU=U0-Um=2.1292V， 即电池在某一电流放电时， 电压差值为2.1292V.

此外， 从采样数据中， 能够读出在恒定电流下， 放电过程持续时间(即放电周期T).由式(5)可求得电池电压下降ΔU时， 电池所释放的电荷量ΔQ

ΔQ=IT

(7)

对不同电流放电情况， 多次求平均可得到ΔQ=1063.407F.

由式(6)得

(8)

由(5)-(8)式， 可得任意恒定电流放电时， 电压U随时间t的变化关系为

(9)

(2)模型精度分析与求解

利用(9)式对I=50A、 I=60A时电池放电时间进行求解， 并与采样数据进行比对， 对比曲线如图3所示.

对采样数据与模型结果进行MRE计算， 结果如表3所示.

由表3可知， 当电流I在60A附近时， MRE值较小， 模型放电剩余时间能较好地反应实际电池的放电时间.

I=55A时，U-t拟合曲线如图4所示.

2.1.4 问题3的求解

利用软件对衰减状态3已采样数据进行分析， 如图5所示.

U=10.4799-1.1233×10-3t

(10)

利用式(10)对该状态下U-t关系进行模拟， 可得到U-t拟合数据及变化关系如图6所示.

从图中可明显看出， 模型解与采样数据重合度相当高， 可以用该模型来求解该状态下的剩余放电时间. 另外， 从采样数据中， 可读出当电压达到Um=9V时， 放电时间为1317min.

3 模型评价

基于最小二乘法原理， 对电池放电剩余时间建立模型并求解. 从求解结果中可看出， 问题1、 3的模型能非常好地反应电池实际放电时U-t关系， 并且放电周期T与采样数据匹配度极高， 有一定的可信度. 问题2的模型建立基于电磁学的理论知识推导， 模型可信度高， 但由于C及ΔQ未知， 在采样数据组有限的情况下， 近似求得C、ΔQ值并进行了求解， 本身存在误差， 因此匹配度较差， 但由于C、ΔQ值和I=60A时单次采样数据接近， 因此I=55A时求得的结果仍然具有可信度. 若已知C、ΔQ或有更多组采样数据的情况下， 该模型能更好地与采样数据匹配.

[1] 赵培正，赵林治，王建革，李中东，郭建峰. 组合Cd/Ni电池的记忆效应[J].洛阳师范学院学报，2006(5).

[2] 数学手册编写组.数学手册[M].北京.高等教育出版社，2011, 7.

[3] 杨述武，赵立竹, 等,普通物理实验[M].北京.高等教育出版社，2007, 12.

[4] 阮晓青，周义仓.数学建模引论[M].北京:高等教育出版社，2005, 7.

[5] 冯杰.数学建模原理与案例[M].北京.科学出版社，2007, 5.

[责任编辑 胡廷锋]

The Mathametic Modelling of Battery Discharge Problem and Solution

ZHANG Ru-kui

(Longnan Teachers College, Cheng County 742500, China)

On the basis of least square method and electromagnetics, this paper establishes the mathametic model of lead-acid battery discharge problem and provides a solution.

battery discharge; least squre method; regression analysis

2016-11-23

张儒奎(1986—)， 男， 甘肃成县人， 硕士， 讲师.

O29

A

1009-4970(2017)02-0045-04