拓宽数学思维平面，收获数学教学实效

朱学丰

摘 要：思维培养是高中阶段数学教学的重点所在。只有从思维的角度进行把握与拓宽，才能够实现数学探究的持续深入。笔者以拓宽思维平面为中心，查阅了相关领域的教学理论成果，并根据实践当中的成功经验进行了系统整理，形成了思维教学的一些体会，在本文当中进行了论述。希望能得到广大教师的关注，并对高中数学教学有所启示。

关键词：高中；数学；思维

【中图分类号】G 【文献标识码】B

【文章编号】1008-1216（2017）01B-0104-02

高中数学学习区别于初中数学学习的一个很大不同点在于它的教学关注点的变化。初中可谓是数学学习的基础阶段，学生们应当将注意力更多地放在对具体知识内容的理解上，为日后的深入探究打好知识基础。而进入高中阶段，就开始从思维能力的高度对学生们提出了学习要求。学生们不仅需要着眼于具体内容进行理解，还要学会看待分析，找到具体知识之间的关联，以便更加深入高效地掌握数学知识。这为高中数学教师们提出了一个核心的教学目标——思维能力。

一、建立换元思想，拓宽思维平面

在很多复杂问题的解答当中，由于已知条件中的元素过多，经常会扰乱学生们的视线，让大家不知道这些条件之间究竟存在着怎样的关联，自然也就无法找到有效的解答方法。这时，就需要找到一个新的元素来置换这些复杂部分，将混乱的条件简洁化，清晰地进行分析推理，这就是我们首先要谈到的换元思想。

例如，在三角函数的学习中，学生们遇到过这样一道习题：已知a>0，那么，函数f（x）=2a（sinx+cosx）-sinx·cosx-2a2 能够取得的最大值和最小值分别是什么？想要对这个函数取得最值的状态进行分析，最大的障碍就是其中存在的颇为复杂的三角函数形式。既然复杂冗长的三角函数元素干扰了我们的视线，那么为什么不将它们简洁化呢？这时，换元的思想就显得尤为重要。将sinx+cosx的值设为t，便可以将t的取值范围确定为[-，]，通过对题目条件进行换元得到sinx·cosx=，由此，就可以进一步得到f（x）=g（t）=-（t-2a）2+（a>0），t∈[-，]的形式了。接下来，根据t的取值范围求出函数的最大、最小值也就简便许多了。视觉形态上的简化，让学生们很清晰地找到了sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系，使得问题被顺利解决。

换元的过程就像是对题目条件进行了一次重新整理与表达。在新元素的辅助之下，学生们的眼前瞬间清晰了许多，很多隐藏在复杂条件表述之下的逻辑关系也得以明确地展现出来，为顺利解题拓宽了道路。换元思想的建立，为学生们准确分析复杂问题提供了一个很好的出口。

二、建立参数思想，拓宽思维平面

参数思想可以说是对换元思想的进一步延伸与升华。当运用题目当中现有的条件元素无法将数量之间的关系体现完全时，就可以考虑引入另外的字母作为参数，以这个参数作为一个新的核心，用它打通各个零散条件之间的关系，将一个个现有条件结合起来，促进题目得到解答。

例如，在立体几何学习当中，我曾经引入了这样一道习题：如图1，S-ABCD是一个正四棱锥，它的四个侧面与地面的夹角均是β，且相邻的两个侧面所成的夹角均是α。求证：cosα=-cos2β。想要证明题目当中给出的结论，就需要将α和β的余弦值求出来，然后将α与β放回所在的三角形中，结合三角形的相关定理解题。经过将AC与BD相连，并连结其交点O与点S，找到BC的中点F，连结OF和SF，并作BE⊥SC于点E，连结DE，能够很清晰地找到∠DEB=α，∠SFO=β。这时，就面临一个如何进行计算推导的问题。最为简洁的方式就是引入一个新的参数a，并将BC的长度设为a，这样就可以很顺利地表示出SF与SC的长，随后在△DEB中的余弦定理适用推导中将a这个辅助变量消去，使得问题得到顺利求解。

参数思想的建立并不是那么容易的。由于这需要从题目之外重新引入新的元素辅助分析，对学生们的思维敏感性提出了很高的要求。很多学生在面对具体题目时，就会很自然地一头扎进去开始分析计算，遇到困难时也只是一味沉在题目之中寻找出路，很难跳出现有题目，想到用新的参数来辅助思考。因此，教师们要有意识地加强对学生们运用参数思想解题能力的训练，将学生們的这一思维习惯建立起来，方能让参数思想方法被顺利使用起来。

三、建立反证思想，拓宽思维平面

很多问题从正面去分析，难度是很大的。有时是由于题目当中给出的条件不足，有时则是由于分析活动覆盖的面太广，无法将所有可能性都涵盖进来，造成推理不够缜密。因此，我们就不应当继续把自己的思维限制在这个正面的方向上去做困兽之斗，而是应当从相反的方向去开辟一条新路。这就是反证思想的产生基础。

例如，在圆锥的学习单元中，曾经出现过这样一道比较典型的反证思想运用习题：如图2，SA和SB是圆锥体的两条母线，点O是圆锥底面的圆心，且点C是SB上的点。求证：AC与面BOS不垂直。从题目要求证明内容的表述方式就可以看出，这道题目与往常的题目有着些许不同。“不垂直”是一个否定性的表述，那么，如何对这样的结论进行证明呢？我们掌握的定理，似乎都是从肯定的角度作出的，想要直接得出否定的结论并不容易。这时，就需要引入反证的思想了。只要从反方向先设AC与面BOS垂直，沿着这个方向进行推导，最终找到面BAS与底面平行的矛盾结论，便可以确定假设不成立，进而得出待证明的否定性结论，清晰简便。

不难发现，反证思想的产生为原本困难的问题解答找到了一条捷径。它也从思维的灵活性上为学生们提供了启示。对于一些分析起来过于复杂的问题来讲，有时可以另辟蹊径，从相反的方向尝试入手，往往可以收获意想不到的效果。特别是在一些小题的解答当中，反证法的适用能够为学生们节省很多时间和精力。

四、建立数形思想，拓宽思维平面

数形结合方法在高中数学的很多问题解答当中都有着广泛的应用。因此，数形思想的建立，也就成为拓宽数学思维平面的有效途径之一。勤于将数字性条件与图形、图像相联系，是每一个高中学生必须建立起来的习惯性意识。有时候，无意当中的作图动作，都会为问题分析提供很大帮助。

例如，在方程内容的教学当中，为了引导学生们将方程与图形结合起来，我设计了这样一道习题：已知，方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）上有唯一的解，那么，实数m的取值范围是什么？题目看似简单，但要准确快速地将其解答出来，仅靠代数形式的推导是远远不够的。当我们将已知条件当中的方程变形转化成为一元二次方程在其定义域中存在实数解的问题之后，就需要图形进行辅助了。当我们将方程化简为之后，答案也就显而易见了。

数形思想的适用在高中数学学习过程当中随处可见。无论是以图形为重点的几何内容，还是以数字为侧重的代数问题，其中的关系都能够以图形的方式展现出来。图形有时是思维分析的辅助，有时更是有效解题的决定性因素。因此，将单一的数字思维拓展至图形思维领域，对于高中数学的有效探究是极为关键的。

高中数学当中的思维能力覆盖面很广。伴随此阶段知识数量与问题形式的复杂多样，对应的思维方法也是种类各异的。本文只是就其中一些较为典型的思维方法进行了阐述，希望能够抛砖引玉，起到启发广大教师的作用。笔者相信，通过对学生们的思维平面进行拓宽，建立多种行之有效的思维路径，必定能够为学生们的知识学习开辟清晰的思路，使其能够手握这些规律性方法，更加简洁高效地处理复杂的数学问题，将高中数学学得更好。

参考文献：

[1]王文明.如何在高中数学教学中培养学生的数学思维能力[J].学周刊，2012，（5）.

[2]齐红.高中数学教学中逆向思维的培养[J].新课程：教育学术， 2011，（4）.endprint