例谈一类排列组合问题建模

许年堤

排列组合问题解题方法独特，结果不易验证，思维比较抽象灵活，在解题过程中，学生往往缺乏自信心，因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上，无疑对解题是有益的。在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。

1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？

分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。

解：有分步计数原理得

评述：本题是利用分步原理求解，模型为n个不同的球放入m个不同的盒子中（每盒可以放n个）有mn

2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？

分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。

解：

3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？

解： 或

评述：本题是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列

模型：把m个不同的元素放入n个不同的对象（ ）（每一个对象只能放一个元素）其排列数为 ，其实就是对排列概念的真正理解。

4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？

分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为 ， 因此：N=

评述：本题是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每个盒子至少放一个球，因此要先分组（把这些元素分成与位置一样的组）后排列；要注意写出有几类不同的分组，同时分组要注意平均分组和局部平均分组的计算方法。（这里就不展开了）。

5、若5个不同的小球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子，每个盒子放一个，且要求乙球放入的盒子编号要比甲小，丙球放入的盒子编号要比乙球小，有几种不同的放法？

分析：先在5个盒子中选出两个放入另外两个球有 ，剩下的3个盒子中按号从大到小放甲、乙、丙，只有一种方法。因此，N=

评述：本题对3个不同小球限制了条件。看上去有顺序限制，事实上是变成了与顺序无关的组合问题。

6、把红、黄、蓝、白、黑5个小球放入5个不同的盒子中，每个盒子只能放一个：

若要求红黄相邻，有几种不同的放法；

若红、黄不相邻，有几种不同的放法；

红球不在1号盒子，黄球不在5号盒子，有几种不同的放法？

分析：（1）把红黄两个球看作一个整体与另外3个小球进行全排列有 ，又红黄两个小球可以进行全排列 ，故N=

（2）因为另外3个小球能制造4个空档，所以先3个小球的全排列有 ，而红、黄两球的排法有 ，故N=

（3）本题可用间接法

评述：（1）（2）两题是常见的相邻与不相邻问题，分别采用捆绑法和插空法，学生应该比较熟悉。而（3）是常见的对元素（或位置）进行限制的问题。分别对两个元素限制不能排在某两个位置上的排列模型为： 或

7、3个相同的小球放入到5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？

分析：先从5个盒子中任取3个盒子有 种，由于放入的是相同的元素，故是无序问题，所以N= 。

评述：本题突出了球相同，说的是把相同的元素放入到不同的位置，是组合问题，是对组合概念的具体化，不过其特点是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7个相同的小球放入5个不同的盒子，要求每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？

分析：法一：先把7个小球分成5组有以下几类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，∵元素是相同的，故第一种有 （或 ），第二种有 （或 ）∴N= + =15

法二：相同元素分配用挡板法，故有 =15种

评述：本题是相同小球m个放入n个不同的盒子（m>n），每个盒子中至少一个元素，用挡板法比较简练，类似的有名额分配问题。

引申：若把12个相同的小球放入5个不同的盒子，要求每个盒子至少放2个，有几种不同的放法？

分析：先在每个盒子上先放上1个小球，再将剩下的7个小球用挡板法分别放入到5个盒子中，有 =15种

评述：本题是先为利用挡板法创造条件，因为使用挡板法的前提一般是保证“至少一个”，且“各元素是相同的”，要注意与不同元素的分组问题的区别。

上述几种类型基本涉及到了中学阶段一些排列组合问题，学生在平时训练中若能有意识地对照这些类型寻找与之相同的题型，逐渐形成解题的模型。对提高学生的审題能力、思维的敏捷性和解题的自信心是有帮助的。