重庆市排污权交易机制下斯坦科尔伯格有限理性动态双寡头博弈的复杂性

唐淦海

摘 要：文章基于重庆市排污权交易机制，将嵌入有限理性动态双寡头博弈行为引入斯坦科尔伯格动态双寡头博弈模型，构建了排污权交易机制下的博弈模型，证明了企业产量调整速度位于稳定域内时，可实现斯坦科尔伯格均衡。采用数值仿真证明当企业产量调整速度和边际初始排污权交易量增速过快时，经济系统将会出现倍周期分岔或混沌等复杂动态。为防止价格增长过快，维持系统稳定性，政府等监管部门应合理制定排污权交易基准价格及企業初始排污权，提高企业污染治理积极性。

关键词：有限理性 排污权交易 奇怪吸引子 分数维

中图分类号：F127 文献标识码：A

文章编号：1004-4914（2017）01-186-06

一、引言

随着全球环境的日益恶化，如何有效防治污染，实现经济与环境协调发展日渐成为国内外学者普遍关注的话题。为了缓解环境压力，环境保护部门提出了采用经济手段控制污染物排放总量的管理思路，建立了排污权交易制度（Emission Permits Market Trading Institution）。该制度规定在区域污染物环境总量一定的条件下，赋予企业污染物排放权力，并允许企业通过污染治理等方式结余下的排污权可以在排污权交易市场上流通，以期通过市场机制来降低环境污染治理的社会总成本。

现有研究虽已将排污权嵌入模型，但将非线性动力系统中的混沌理论与动态寡头博弈模型相结合，研究动态寡头博弈的排污权交易模型的复杂性并不常见，而基于试点城市排污权交易机制的研究更是鲜见报道。本文将排污权价格、边际初始排污权分配量等因素纳入模型，构建延迟有限理性的动态产量决策斯坦科尔伯格模型，分析基于重庆市排污权交易机制条件下产量调整速度、边际初始排污权分配量以及排污权价格对模型复杂性的影响。

二、考虑排污权交易机制下有限理性的斯坦科尔伯格双寡头动态模型

假设排污权交易市场上有两家寡头企业，分别为企业1和企业2。企业1处于优势地位。两企业存在产量博弈，生产的产品具有差异性。qi（t）表示第i个企业在t时期内的产量，离散的时间周期用t表示，t时期内两企业的总产量用Q（t）q1（t）+q2（t）表示，t=0，1，2…。

假设ei为单位产品污染物排放量，那么企业污染物排放量可以表示为Ei=eiqi。假设消费者的边际损失用di表示，且di>0。那么消费者获得效用函数可表示为：

U（q1，q2）=q0+a1q1+a2q2-■-d1e1q1-d2e2q2（1）

其中，q0表示价格为1的生产中不排放污染物的产品。参数ai>0，bi>0，di>0，ei>0，（i=1，2）。两种产品的相关程度用γ∈[-1，1]度量。当γ=-1，可完全替代的产品；γ=1，表示完全互补的产品；当γ∈（-1，0），表示不完全替代的产品；当γ∈（0，1），表示不完全互补的产品；当γ=0，表示完全不相关的产品。

企业i的pi=■=ai-biqi-γqj-diei（i=1，2）。与不考虑污染对消费者的负外部性模型相比，逆需求函数中企业i的价格函数下降了diei，diei为企业i生产单位商品对消费者的损害。价格上限用ai-diei表示。产品i价格随产量增加而下降的数额用bi=-■表示，产品j价格随产品i产量增加下降的数额用γ=■表示。

假设企业i的生产成本为规模报酬递减或规模不经济的二次函数形式：Ci（qi）=ciqi2，污染治理成本为二次函数形式：Mi（qi）=miqi2。政府分配给企业的初始排污权是和企业的设计规模相关的正比例函数KiQi，初始排污权应按市场基准价格有偿取得，市场上排污权交易基准价格为P，企业i考虑生产成本实际排污权交易量为kiqi，且qi

企业i的利润函数为：

πi（qi，qj）=（ai-diei-biei-biqi-γqj）qi-ciqi2-miqi2-pkiqi（2）

企业2的边际利润函数为：

■=a2-d2e2-pk2-2（b2+c2+m2）q2-γq1（3）

利润最大化是企业追求的目标，则满足一阶条件为零，即■=0。可得到企业2的产量q2的反应函数为：

q2=s2（q1）=■，i，j=1，2，i≠j（4）

其中Ai=bi+ci+mi，i=1，2。

由于企业1具有先动优势，故企业1的利润函数为：

π（q1，q2）=（a1-d1e1-pk1-b1q1-γq2）q1-c1q12-m1q12-pk1q1（5）

由于企业追求利润最大化，边际利润函数为零可得：

■=a1-d1e1-pk1-γ■-（2AI-■）q1=0（6）

解得q1=■，代入企业2的反应函数S2（q1），斯坦科尔伯格均衡为E*=（q1*，q2*）：

q1*=■q2*=■（7）

参数需满足以下条件：

2A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0

（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>0

2A1A2-γ2>0

因此，斯坦科尔伯格均衡E*=（q1*，q2*）具有唯一解。

两个企业在产品市场中进行重复的动态博弈过程，企业依据历史数据对其产量决策进行调整。假设两个企业作出当期产量决策的依据为前T期边际利润，T=1，2，3，……，n，即企业均为延迟有限理性，可知斯坦科尔伯格有限理性产量决策方程在排污权交易机制下为：

q1（t+1）=■q2（t+1）=■（8）

其中qD=（q1D，q2D），qiD=■qi（t-1）？棕i，l，（i=1，2）。？棕i，l≥0，■？棕i，l=1。

取T=1，则有

q■（t+1）=q■（t）[1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1））-γ（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]（9）

方程组中u，v是企业1和企业2的产量调整速度，参数满足u≥0，v≥0。

斯坦科尔伯格模型的动力系统方程为：

f■（t+1）=q■（t）f■（t+1）=q■（t）q■（t+1）=q■（t）[1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1））-γ（？棕■q■（t）+（1-？棕■）q■（t-1）））]（10）

解得四个不动点为：

E■=（0，0，0，0），E■=（0，■，■，0，），

E■=（■，0，

■，0）

E*（q1*，q2*，q1*，q2*）

其中，

q■■=■

q■■=■

参数需要满足：

4A1A2-2γ2>0，2A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0

（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>0

因此，斯坦科尔伯格均衡点为E*，边界均衡点分别为E0，E1，E2。

模型的Jacabian矩阵为：

J=0 0 1 00 0 0 1-（2A■-■）（1-？棕■）q■u 0 a■ 0-γ（1-？棕■）q■v -2A■（1-？棕■）q■v -γ？棕■q■v a■（11）

其中：

a■=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（1+？棕■）q■），

a■=1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（1+？棕■）q■-γq■）。

系统不动点的稳定性可利用Jacobian矩阵进行讨论。

定理1斯坦科尔伯格模型动力系统的边界均衡不稳定。

证明：

J（E■）=0 0 1 00 0 0 10 0 1+u（a■-d■e■-pk■-γ■ 00 0 0 1+v（a■-d■e■-pk■）（12）

J（E■）的特征根为：

？姿1=？姿2=0，？姿3=1+u（a1-d1e1-pk1-γ■）>1

？姿4=1+v（a2-d2e2-pk2）>1。故E0不稳定。

J（E1）=0 0 1 00 0 0 10 0 1+u（a■-d■e■-pk■-γ■ 0a■ a■ a■ 1-？棕■v（a■-d■e■-pk■）（13）

其中：

a■=-（1-？棕■）γv■，a■=-2A■（1-？棕■）v■，

a■=-γ？棕■v■

J（E1）的特征根为：

？姿1=0，？姿2=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■）>1，

？姿■=■，

？姿■=■<1

其中：

△1=[1-v？棕■（a■-d■e■-pk■）]2+4（1-？棕■）（a■-d■e■-pk■）≥0。

故E1为鞍点。

J（E■）=0 0 1 00 0 0 1a■ 0 a■ 00 0 0 a■（14）

其中：

a■=-（2A■-■）（1-？棕■）■

a■=1-？棕■u（a■-d■e■-pk■-■），

a■=1+v（（a■-d■e■-pk■）-γ■

J（E2）的特征根为：

？姿1=0

？姿■=1+v（（a■-d■e■-pk■）-■）

？姿■=■

？姿■=■

其中△2=a33+4a31≥0。故E2為鞍点。证明完毕。

讨论斯坦科尔伯格模型均衡E*=（q1*，q2*，q1*，q2*）的稳定性。

E*点的Jacobian矩阵为：

J（E■）=0 0 1 00 0 0 1-（2A■-■）（1-？棕■）q■■u 0 a■■ 0-γ（1-？棕1）q■■v -2A■（1-？棕■）q■■v -γ？棕■q■■v a■■（15）

其中：

a■=1+u（a■-d■e■-pk■-γ■-（2A■-■）（1+？棕■）q■■），

a■=1+v（a■-d■e■-pk■-2A■（1+？棕■）q■■-γq■■）。

特征多项式为：

？姿4+？滋1？姿3+？滋2？姿2+？滋3？姿+？滋4=0

其中：

？滋■=-（a■■+a■■），？滋■=a■■a■■+（2A■-■）（1-？棕■）q■■u+2A■（1-？棕■）q■■v，

？滋■=-[2A■a■■（1-？棕■）q■■v+a■■（2A■-■）（1-？棕■）q■■u]，

？滋■=（1-？棕■）（1-？棕■）（4A■A■-2γ■）q■■q■■uv。

？姿i<1（i=1，2，3，4）的充要条件是如下Jury条件成立：

1+？滋■+？滋■+？滋■+？滋■>01-？滋■+？滋■-？滋■+？滋■>0？滋■<1？滋■-？滋■？滋■<1-？滋■■（1-？滋■■）（？滋■-？滋■？滋■）-（？滋■-？滋■？滋■）（？滋■-？滋■？滋■）<（1-？滋■■）■-（？滋■-？滋■？滋■）■（16）

定理2如果系统满足：

u≥0，v≥02A1A2-γ2>02A2（a1-d1e1-pk1）-γ（a2-d2e2-pk2）>0（a2-d2e2-pk1）（4A1A2-γ2）-2A2γ（a1-d1e1-pk1）>01+？滋■+？滋■+？滋■+？滋■>01-？滋■+？滋■-？滋■+？滋■>0？滋■<1？滋■-？滋■？滋■<1-？滋■■（1-？滋■■）（？滋■-？滋■？滋■）-（？滋■-？滋■？滋■）（？滋■-？滋■？滋■）<（1-？滋■■）■-（？滋■-？滋■？滋■）■（17）

斯坦科尔伯格均衡E*的特征为局部范围渐进稳定。

三、数值模拟

为了说明产量调整速度、排污权交易量及其价格对模型稳定性的影响，采用数值模拟的方法进行分析。

参数取值：a1=10.35，a2=8.14，b1=0.9，b2=0.8，c1=0.5，c2=0.7，m1=

0.6，m2=0.5，e1=0.3，e2=0.2，k1=0.2，k2=0.1，γ=0.8，p=1，d1=0.5，d2=0.2。得到斯坦科尔伯格均衡E*=（2.2826，1.5435）。

（一）企业产量调整速度对模型稳定性的影响

无延迟（？棕1=？棕2=1）条件下，企业2的调整速度V=0.2，可得斯坦科尔伯格模型系统的动态方程为：

q■（t+1）=q■（t）[1+u（8.4-3.68q■（t））]q■（t+1）=q■（t）[1+0.2（8-4q■（t）-0.8q■（t））]（18）

图1是v=0.2时斯坦科尔伯格产量分岔，图2是关于u的最大Lyapunov指数图。当u∈（0，0.2380），企业产量始终维持斯坦科尔伯格均衡。图2中Lyapunov指数为0的点为A（0.2380，-0.0013），与图1中第一次倍周期分岔点相对应。图1中第二次周期分岔点与图2中B（0.2910，-0.0053）点相对应，即最大Lyapunov指数第二次为0的点。当u∈（0.2380，0.3030），系统处于周期分岔状态；当u>0.3030时，混沌现象出现。图1中混沌现象出现的临界点与图2中接近于零点的C（0.3030，-0.0029）相对应。当u∈（0.2380，0.3030），系统状态为周期分岔；当u>0.3030时，系统状态为混沌状态。

当？棕1=？棕2=0.8时，斯坦科尔伯格模型动力系统为：

f■（t+1）=q■（t）f■（t+1）=q■（t）q■（t+1）=q■（t）[1+u（8.4-3.68（0.8q■（t）+0.2q■（t-1）））]q■（t+1）=q■（t）[1+v（8-4（0.8q■（t）+0.2q■（t-1））-0.8（0.8q■（t）+0.2q■（t）））]

企业u的产量（延迟）分岔图和关于u的最大Lyapunov指数图（延迟）分别为图3和图4。由图可知，产量分叉图和Lyapunov指数图均表明系统未发生混沌现象。由此可知，延迟系数的引入增加了系统的稳定性，使系统稳定域扩大，阻止了系统进入混沌状态。

（二）边际初始排污权分配量对模型稳定性的影响

图5是u=0.15，v=0.2，其他参数不变的条件下，d1的产量分岔图。如图所示，q1*随着d1的增加而增加，q2*随着d1的增加而减小。当d1=3.9550时发生第一次分岔，斯坦科尔伯格均衡消失。

图6是d1的最大Lyapunov指数图。最大Lyapunov指数在D（3.9550，-0.0560）第一次接近零点，第二次与第三次接近于零的点分别为E（6.9890，-0.0117）和F（7.6230，-0.0364），故d1∈（0，3.9550）时，两个企业产量处于均衡状态；当d1∈（3.9550，6.9890）时，发生第一次分岔；当d1∈（6.9890，7.6230）时，发生第二次分岔；第三次分岔发生在d1∈（7.6230，7.8820）。当d1∈（7.8820，10）时，最大Lyapunov指数几乎均处于零点以上，可知系统为混沌状态。

图7为产量调整速度分别取u=0.19，v=0.15，其他参数不变的条件下，d2的产量分岔图。此时E*=（■，■），可知q1*隨着d2的增加而减小，q2*随着d2的增加而增加。当d2=6.9940时，第一次分岔发生，斯坦科尔伯格均衡消失。

图8是d2的最大Lyapunov指数图。指数第一次接近于零的点为G（6.9940，-0.0607），H（9.9180，-0.0589）和I（10.5350，-0.0354）分别为第二次和第三次接近于零的点。因此，当d2∈（0，6.9440）时，两个企业的产量处于斯坦科尔伯格均衡；当第一次分岔发生时，d2∈（6.9440，9.9180）；当第二次分岔发生时，d2∈（9.9180，10.5350）；当第三次分岔发生时，d2∈（10.5350，10.6700）。当d2∈（10.6700，12）区域时，指数处于零点以上，表明该模型此时状态为混沌。

对边际初始排污权分配量di（i=1，2）引入延迟系数，取？棕1=？棕2=0.8。d1产量分岔图见图9。由图可知，延迟系数的引入使系统第一次分岔点d1=6.2890，并且无混沌现象出现。说明抑制甚至消除混沌的手段之一是延迟系数。企业2的边际排污权分配量数值模拟同理可得。

政府环保部门对企业初始排污权的分配具有主动权。通过数值仿真可知，政府环保部门分配给企业的初始排污权过大，会导致企业结余排污权增加，从而使市场上可交易的排污权上升，企业通过出售结余排污权使其产品的成本下降，导致企业作出提高产量决策的可能性增加；初始排污权分配量过大，企业结余排污权过多，不仅可能使企业增大产量，还可能会降低企业投资新技术治理污染的积极性，导致降低环境污染治理社会总成本的目的无法达到。

（三）排污权价格对模型稳定性的影响

图10是在u=0.31，v=0.2，其他参数不变，p的产量分岔图。图像表明此条件下均衡价格是随p的增加而减小。

关于排污权价格p的最大Lyapunov指数图见图11。从图可知，J（2.5920，-0.0150）为最大Lyapunov指数第一次接近于零的点，与图11中的第三次分岔点相对应；K（3.5640，-0.0367）是其第二次接近于零的点，对应图11中第二次分岔点；图10中第一次分岔点对应图11最大Lyapunov指数最接近零的点L（7.2400，-0.0122）。当p∈（0，2.5920）时，系统处于混沌状态；当p∈（2.5920，7.2400）时，产量处于周期分岔状态；当p>7.2400时，指数开始出现负值，纳什均衡状态出现。

（四）系统混沌吸引子和分数维

系统混沌状态可采用混沌吸引子进行确定。图12～15是v=0.2时，u分别取u=0.31，u=0.32，u=0.33，u=0.34时的混沌吸引子。由图可知，随着u的增大，图像慢慢出现清晰完整的分形结构。图12中图形分为两支，随着u的增大，两个分支逐渐相接，形成一个完整的图像，说明u的增大使系统的混沌程度增加。

分数维是度量混沌吸引子的重要指标。Lyapunov维数定义为：

d■=j+■l■l■，l■，l■，…，l■是Lyapunov指数，j是最大整数且■l■>0，■l■<0。本文中的Lyapunov维数是dL=1+■，l■<0

表1是当v=0.2，u取不同赋值时的分数维结果表。由表可知，分数维dL∈（1，2）。证明此时斯坦科尔伯格模型处于混沌状态。

计算可知，u=0.34时有最大值dL=1.4098，此时系统混沌状态最剧烈。

表2是当d2=0.2，其他参数不变时，d1取不同赋值时的分数维结果表。结果显示，分数维dL∈（1，2），说明此时系统处于混沌状态。

计算结果表明，分数维d1=10时有最大dL=1.5016，说明dL=1.5016时，系统运动最剧烈，处于最强的混沌状态。

表3是当d1=0.5，其他参数不变时，d2取不同赋值的分数维结果表，结果显示不同的d2对应的分数维也不相同，且dL∈（1，2），说明此时模型处于混沌狀态。

由计算结果可知，当分数维d2=12时有最大dL=1.2149，说明当dL=1.2149时，系统运动处于最强的混沌状态。

分数维结果表明，在其它参数满足一定条件的情况下，以不同的参数为自变量，系统处于混沌状态。说明外界随机因素对系统是否混沌不起决定作用，非线性系统的内生参数导致了经济波动。

四、结论

寡头厂商的产量调整速度是决定系统状态的关键参数，当产量调整速度处于稳定域内时，产量处于纳什均衡；当产量调整速度处于稳定域外时，系统逐渐进入混沌状态。

延迟系数可抑制甚至消除混沌，是防止系统出现混沌的手段之一。当寡头企业为作出更理性的决策，更合理的预期，应将多个时期的边际利润作为参考对象。

政府应合理分配初始排污权。初始排污权的分配过大，会造成企业消极治污，增加企业加大污染物排放的可能性；初始排污权分配过小，增加了企业生产成本，降低企业市场活力，对形成利用经济手段解决环境问题的局面具有消极的意义。

政府制定排污权基准价格时也应引入延迟系数，考虑当期及以前多期价格，这样制定的基准价格可以使交易系统更加稳定，有利于排污权交易市场的健康发展。

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（作者单位：重庆资源与环境交易所 重庆 400700）

（责编：贾伟）