与AH凸函数有关的若干单调函数

时统业, 秦 华, 王 斌

(1. 海军指挥学院信息系，江苏 南京 211800； 2. 海军蚌埠士官学校航海系，安徽 蚌埠 233012)

与AH凸函数有关的若干单调函数

时统业1, 秦 华1, 王 斌2

(1. 海军指挥学院信息系，江苏 南京 211800； 2. 海军蚌埠士官学校航海系，安徽 蚌埠 233012)

利用AH凸函数的定义和基本性质，证明了与AH凸函数有关的若干函数的单调性，并利用这些单调性定理，得到几个与AH凸函数有关的积分不等式.

AH凸函数；单调性；单侧导数

1 预备知识

定义1[1-2]设I⊆R，f：I→(0,+∞)，若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，有

则称f(x)是区间I上的AH凸(凹)函数.

引理1[2]区间[a，b]上二阶可导正值函数f(x)为AH凸(凹)函数的充要条件是

2(f′(x))2-f(x)f″(x)≤(≥)0.

引理2[3]设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)为AH凸(凹)函数，x，y∈(a，b)，则

(i)f在(a，b)内任意点处的单侧导数存在；

(ii)若x

引理3 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是AH凸函数，则

(i) (x-a)f(x)在(a，b)上严格单调增加；

(ii) 若f在(a，b)上可导，则有f(x)+(x-a)f′(x)>0.

由此得(x1-a)f(x1)<(x2-a)f(x2)，故证得(x-a)f(x)在(a，b)上严格单调增加.

引理4[3]设f：[a，b]⊆R→(0，+∞)是连续的AH凸(凹)函数，p(x)是正的可积函数，则

其中

2 主要结果

定理1 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是连续的AH凸函数，且在[a，b]上二阶可导，则

证明 (i)对任意x∈[a，b]，

由引理1有f(x)f″(x)-2(f′(x))2≥0，于是在[a，b]上有u′(x)≥0，故u(x)在[a，b]上单调增加.

(ii)对任意x∈(a，b]，

由引理3有f(x)+(x-a)f′(x)>0，由(i)知u(x)>0，故在(a，b)上有v′(x)<0，因此v(x)在(a，b]上单调减少.

推论1 设条件同定理1，则有

(1)

(2)

定理2 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是二阶可导的AH凸函数，且严格单调，则函数

在[a，b]上的严格单调增加.

因f严格单调，故(f′(x))2>0，又由引理1有f(x)f″(x)-2(f′(x))2≥0，故w′(x)>0，即w(x)在[a，b]上严格单调增加.

推论2 设条件同定理2，则有

(3)

证明 由定理2有w(b)≥w(a)，由此证得式(3).

推论3 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是二阶可导的AH凸函数，且严格单调增加(减少)，则函数

是[a，b]上的AH凸(凹)函数.

证明

因w(a)≤w(x)，又当f在[a，b]上单调增加(减少)时有f′(x)>(<)0，故2(l′(x))2-l″(x)l(x)≤(≥)0，由引理1，f是[a，b]上的AH凸(凹)函数.

在[a，b]上单调减少(增加).

证明 对任意x∈(a，b)，

推论4 设条件同定理3，则有

定理4 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是连续的AH凸(凹)函数，且当x≠a时，有xf(x)≠af(a)，则函数

在(a，b]上单调减少(增加).

证明 对任意x∈(a，b)，

因为

推论5 设条件同定理4，则有

(4)

证明 由定理4有k(b)≤(≥)k(a)，由此证得式(4).

定理5 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是连续的AH凸(凹)函数，且当x≠a时，有f(x)≠f(a)，则函数

在(a，b]上单调减少(增加).

证明 对任意x∈(a，b)，

因为

推论6[6]设条件同定理5，则

(5)

证明 由定理5有l(b)≤(≥)l(a)，由此证得式(5).

定理6 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是连续的AH凸函数，且单调增加，p(x)是正的可积函数，则函数

在(a，b]上单调增加.

定理7 设f：[a，b]⊆(0，+∞)→(0，+∞)是连续的AH凸函数，且单调增加，t∈(0，1)，则函数

在[a，b]上单调减少.

证明 对任意x∈(a，b)，

因为x≥ta+(1-t)x，由引理2及f的单调增加性有

又由AH凸函数的定义得

[1] 张天宇,王淑红.关于算术调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版),2012,27(4)：397-399.

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Some Monotone Functions Related to AH-convex Functions

SHI Tongye1, QIN Hua1, WANG Bin2

(1. Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China; 2. Department of Navigation,PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy, Bengbu 233012, China)

The monotonicity of several functions related to AH-convex functions are proved by means of the definition and basic properties for AH-convex functions, and sever integral inequalities for AH-convex functions are obtained by using these theorems.

AH-convex function; monotonicity; unilateral derivative

2016-03-09

时统业(1963—)，男,副教授，硕士，主要从事基础数学教学和研究.E-mail:shtycity@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.01.022

O178 MSC2010：26B25；26D15

A

1674-232X(2017)01-0103-05