"七大意识"应对二项式定理

■江苏省张家港职业教育中心校 韩文美

"七大意识"应对二项式定理

■江苏省张家港职业教育中心校 韩文美

二项式定理是高中数学的重要内容之一,也是每年高考必考的内容之一,多以选择题或填空题的形式出现。二项式定理是高中数学内容中较为独特的一部分知识,内容虽不多,但分散于教材及习题的解法却蕴含了待定系数法、构造法、特殊值法和逆向思维等高中数学的基本思想方法。因此,对二项式定理的学习也是比较集中学习高中数学思想方法、提高思维能力的好机遇。同学们通过学习,对思维能力的培养和数学素质的提高是十分有益的。

1.通项公式意识

凡涉及展开式的项及其系数(如常数项、某项的系数)问题,常要先写出其通项Tr+1=·an-r·br(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*),然后再根据题意列出相应式子进行求解,有时需要建立方程才能解决。

分析:写出二项展开式的通项,令其对应的x的指数为3,判断相应的r的值,再求解对应的项,得到相应的系数。

解:二项展开式的通项为Tr+1=

则展开式中x3的项为T5=21·C45·x3= 10x3,x3的系数为10,故答案为10。

点评:本题主要考查二项展开式及其计算。这是应用二项式定理的通项的典型问题,通过通项写出所需的项,再利用方程思想,根据条件列出方程,有时还要先解出相应n的值,从而解出对应项的值。

2.基本性质意识

二项式定理的基本性质的应用有:求与首末两端等距离的两项的二项式系数,求二项式系数的最大项,求二项式系数的和以及偶数项或奇数项的二项式系数的和等。

分析:根据二项展开式中所有项的二项式系数之和,及组合数的性质确定参数n的值,再利用通项公式来确定常数项。

解:由题意并结合组合数的性质可知: 2n=256,解得n=8。

二项展开式的通项公式为Tr+1=·

点评:本题主要考查二项式系数的和,以及二项展开式及其计算,同时考查方程思想。解决此类问题的关键是抓住二项式定理的基本性质来确定相应的参数值,为进一步分析及求解奠定基础。

3.系数配对意识

凡涉及两个二项式的积或可化为两个二项式的积的展开式中某项系数的问题,通常结合乘法分配律,利用相关的系数配对来进行解决。

(2014年新课标Ⅰ卷理科第13题)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为____。(用数字填写答案)

分析:要研究展开式中的x2y7的系数,结合(x-y)与(x+y)8的特征,只要对应求出(x+y)8中xy7的系数、x2y6的系数,与(x-y)中的对应项的系数相乘,最后再相加,即为所要求解的项的系数。

解:由题意知(x+y)8的展开式中xy7的系数为=8,x2y6的系数为=28,则(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为8-28=-20,答案为-20。

点评:本题主要考查二项式定理中求特定项的系数问题。求多项式与二项式的积的展开式,既要灵活运用二项式定理,又要注意多项式的乘法法则的灵活运用。只有这样,才能准确地把握它们的展开式中各项的规律,使得解题过程准确无误。

4.方程函数意识

在二项式定理的有关问题中,二项式定理往往和函数、方程等相关知识加以综合,根据题中条件,把问题转化为函数或方程问题,通过解函数或确定方程值来达到目的。

(2014年浙江卷理科第5题)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=( )。

A.45 B.60 C.120 D.210

分析:结合二项式定理的通项公式中对应系数的求法,利用函数思想确定相应的函数关系式,并结合组合数的计算来求解。

解:由题意知含xmyn项的系数为f(m, n)=。

那么f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+ f(0,3)=

故答案为C。

点评:本题主要考查二项式定理及其应用,以及函数值的求法。通过二项式定理对通项公式中对应系数的分析,确定函数关系式,再通过组合数的计算使问题得到解决。

5.赋值运算意识

对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值运算法,赋值运算法是解决二项式系数问题的一个行之有效的手段。

(2015年课标Ⅱ理科第15题) (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=。

分析:根据二项式定理写出相应的展开式,通过对x赋特殊值,再结合相关的系数关系来确定相应的参数值。

解:设(a+x)(1+x)4=a0x5+a1x4+ a2x3+a3x2+a4x+a5。

令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5= 16(a+1)。

令x=-1,可得-a0+a1-a2+a3-a4+a5=0。

整理可得a0+a2+a4=8(a+1)=32,解得a=3,故答案为3。

点评:本题主要考查二项式定理的运用及二项式系数和,也考查了转化与化归的数学思想和等价变形的能力。二项式定理是一个恒等式,对一切x的值都能成立。当求展开式的系数或者证明有关组合数的恒等式时,常常用此方法——赋特殊值,常见的解法是令x的值为1,-1或0。

6.转化变形意识

在二项式定理的有关问题中,经常会见到多于二项的多项式(三项或者多于三项),求解时,主要是把多项式问题转化变形为相关的二项式定理的问题来分析求解。

分析:先对含有三项的二项式加以展开,注意转化变形,再通过二项式求解对应的系数,正确的转化是解决问题的关键。

点评:本题主要考查运用二项式定理求特定项,解题时要特别注意转化思想的应用。通过把较为复杂的二项式问题转化为较为简单的二项式问题来处理,使得解题过程去繁为简。

7.不等式意识

在二项式定理的有关问题中,经常会碰到展开式的项或对应的系数包含有参数的取值范围的问题,必须根据不等关系建立相关的不等式,通过求解不等式来求解相关问题。

分析:利用二项展开式的通项公式,结合题中展开式中x3项的系数建立关系式,得到ab=1,进而再利用基本不等式来确定所求式的最值问题。

解:由于展开式的通项Tr+1=Cr6·

令12-3r=3,得r=3。

根据基本不等式有a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b,且ab=1时,等号成立。

故a2+b2的最小值是2,答案为2。

点评:深刻理解二项式定理,充分把二项展开式与题目中的代数式的最值问题加以综合与交汇,利用基本不等式来确定最值。在实际应用中,往往把相关的二项式定理问题转化为函数、方程、不等式等问题,再利用相关的数学知识来分析与求解。

同学们在学习时,应结合二项式定理中的典型实例,认真做好基本方法的梳理工作,通过精心配置例题和习题,进行知识、方法和技巧的训练,才能真正掌握二项式定理。

(责任编辑 徐利杰)