谈谈凸函数及其应用

赵秀

摘 要： 凸函数是具有良好性质及广泛应用的一类重要函数，在许多学科分支（如泛函分析、最优化原理、控制论、数理经济学等）中有重要的作用，关于凸函数与凸集的研究已经形成一门专门的数学分支——凸分析.目前有关凸函数的理论十分丰富，而大学数学分析或高等数学教材中往往只有粗浅的介绍，而且定义不尽相同.本文主要探讨凸函数的定义、性质及应用，为进一步理解、掌握凸函数起促进作用.

关键词： 凸函数 定义 性质 应用

一、凸函数的产生与发展

凸函数是一类重要函数，起源于丹麦数学家约翰·詹森（Jensen）和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基，在詹森著述中是这样介绍的：若函数f（x）满足定义域上任意两个数则称f（x）为凸函数.凸函数的产生不仅给人们带来一种新的研究函数的工具，还为函数这个“大家族”增枝散叶，随着凸函数的出现，人们对函数这个概念多了一丝陌生感，引起人们“认识”的欲望.在詹森定义凸函数后，有不少人对凸函数进行了研究，其中有闵科夫斯基和杜克等人.在凸函数产生的最初阶段，人们对凸函数并不看好，真正引起人们广泛重视的是40至50年代冯·诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究，由于这方面的需要，从50年代初到60年代末人们对凸函数的研究得到较大发展.关于凸函数的研究大多数是围绕凸分析展开的.当时，我国的数学爱好者对凸函数的研究有涉及，那时的代表人物有张晓明、刘光中和胡克等人，他们的研究成果多数以教材形式展示，而且对凸函数的定义有所区别.例如，同济大学高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反.随着科学家求知欲望的增长与艰辛的付出，对凸函数的研究逐步得到深入与完善.

二、函数的定义及几何意义

目前对凸函数的理论研究十分丰富，对凸函数所给的定义不尽相同.本文参阅凸函数的国际定义对凸函数做如下定义：

（一）凸函数的定义

五、凸函数的性质

无论是国外还是国内的数学爱好者都对凸函数进行了大量研究，发现了凸函数的许多性质，本文只介绍凸函数的如下四条性质：

性质1（有界性） 若f（x）为[a，b]上的凸函数，则f（x）在[a，b]上有界.

性质2（连续性） 若f（x）为区间I上的凸函数，则f（x）在任意点x∈（a，b）？奂I处连续.

性质3（可导性） 设f（x）在区间I上二阶可导.若f（x）为区间I上的凸函数，则f″（x）≥0（反之也成立）.

性质4（单调性） 设f（x）在区间I上可导.若f（x）为区间I上的凸函数，则f′（x）在I上单调递增.

六、凸函数性质的应用

随着科技的发展，人们对凸函数的认识越来越系统，研究越来越全面，应用越来越广泛，因此，深入掌握凸函数的定义、性质及应用是十分重要的.由于我知识有限，因此文中有不足之处，望各位同行不吝赐教.