巧用章引言 做好领路人*——“计数原理”章引言课实录与反思

●周 霞 (效实中学 浙江宁波 315012)



巧用章引言 做好领路人*
——“计数原理”章引言课实录与反思

●周 霞 (效实中学 浙江宁波 315012)

章引言在平时的教学中是一个被“遗忘的角落”.文章以“计数原理”章引言课为例，从“为何引”“怎么引”“引什么”3个方面阐述如何充分挖掘章引言的内涵和价值，自然、恰当地在教学中进行应用，从而引发学生的学习兴趣，引导学生学会思考，在开启新篇章之际，更好地引领学生入门.

章引言；引言课；计数

1 背景

2016年5月，笔者参加了以“深化课程意识，落实核心素养”为主题的浙江省宁波市直属高中教研活动，并进行了一次课例展示，上课内容为人教A版《数学(选修2-3)》第1章“计数原理”章引言，这也是笔者此前参加宁波市城区教坛新秀评比时选用的课例.现将这节课的教学过程以及笔者对章引言教学的点滴思考整理成文，与大家交流.

2 课堂实录

2.1 情境创设，引发兴趣

师：我这里有一个密码本，右侧共有8个按键，从上到下分别标有数字1～8.这个密码本设有一个4位密码(数字从小到大排列)，只有按照密码将相应的数字键按下，本子才能打开.可是现在这个本子的密码只知道前2位是34，后2位数字看不清了，大家能不能帮忙猜猜后2位数字是什么？

(学生兴致很高，纷纷猜测.)

生(众)：68,58,78,56,57,67.

师：还有吗？你来猜一个？

生1：没有了，已经列出了所有情况.

师：你怎么确保没有遗漏呢？

生1：我是按规律找的，56,57,58,67,68,78.

师：按规律找就不会遗漏，密码只有6种可能，那我们来试一试，看看密码究竟是什么？

(当按下正确密码3458时，密码本被打开了，猜中的学生兴奋不已.)

师：刚才问题中求所有可能的密码个数可以抽象成一个怎样的数学问题？

生2：由5,6,7,8这4个数可以组成多少个不重复的2位数.

设计意图 通过小游戏“猜密码”引入课题，简单而有趣的情境吸引了每一位学生的注意力，激发了他们的学习兴趣和参与热情.

2.2 问题探究，引出主题

师：我去买密码本的时候，发现同样是8个按键的本子，有些设置的密码是3位数的，有些是4位数的.从保密性能来考虑，我应该选择哪一种更好呢？

生3：4位数的.

师：为什么呢？

生3：老师，你在网上设密码的时候是选长一点的密码还是选短一点的密码呢？

师：应该是选长一点的密码安全性更高吧.当时我的想法和你一样，因此我就选了4位密码.可是后来我回家一想，既然密码长一点好，那厂家为什么不设置8位密码呢？

生(众)：8位密码等于没有设密码.

师：看来密码也不是越长越好，至少在这个问题上不是这样.如果是7位密码呢，能设置多少个？

生4：8个.

师：为什么是8个呢？

生4：按下7个数字键，相当于8个按键中选一个未按下的键，因此有8种情况.

师：也就是说设置7位密码和设置1位密码的种数是一样多的，都是8种.那如果是2位密码呢，有多少种情况？

生5：28种.

师：你是怎么算的？

生5：第1位数字是1的有7种：12,13,14,15,16,17,18，第1位数字是2的有6种，……，因此共有7+6+5+4+3+2+1=28种.

师：刚才这位同学对密码的首位数字进行分类后用加法来计算种数，显然要比一种一种列出来更加方便快捷.从计算结果来看设置2位密码比1位密码种数要多，那么3位密码、4位密码呢？有没有规律可以快速地求出密码种数呢？大家可以在课后思考一下，这是本章将要学习的内容之一.

师：除了这种密码本，还有一种密码锁更为常见.如果它的密码是一个3位数，每一位上的数字都可以是0～9，那么这样的密码锁能够设置多少种不同的密码呢？

生6：1 000种.

师：怎么算？

生6：10×10×10.

师：我们不需要一个一个去数，可以用乘法很快计算出密码种数.刚才2个问题中计算密码种数的问题我们都称之为计数问题，通俗地说就是计算个数问题.计数问题对我们来说并不陌生，因为我们学习数学就是从数数开始，先是一个一个地数，然后学习了加法和乘法运算，可以更加方便地计数.在计数原理这一章中将要研究不通过一个一个地数而确定个数的方法.

设计意图 以问题串的形式围绕密码进行探究，让学生回顾已有的计数方法：如列举法、树状图等，并且能够使用加法或乘法来方便计数，但是在计算3位密码、4位密码时，学生强烈地意识到已有的经验在解决更多的计数问题时具有一定的局限性，需要寻求更一般的规律.

2.3 实例感悟，引导思考

师(PPT展示)：计数问题在我们生活中有很多，例如：

1)汽车牌照.随着生活水平的提高，家庭汽车拥有量逐年增加，原先5位数的牌照早已不能满足需求，因此现在的牌照除了数字又加入了字母.由0～9这10个数字和A～Z这26个字母一共能组成多少个不同的牌照呢？这样的编号规则能否满足近年来汽车增长的需求呢？

2)彩票中的双色球.双色球每注投注号码由6个红球号码和1个蓝球号码组成，6个红球号码从01～33中选，1个蓝球号码从01～16中选.根据这样的选号方式，一共能产生多少种不同的号码呢？

3)DNA分子结构.一说起DNA,我们都会想到亲子鉴定，或是嫌疑人身份鉴定等等，为什么DNA可以看作是每个人身份的标签呢？DNA分子是以4种脱氧核苷酸为单位连接而成的长链，这4种脱氧核苷酸分别含有A,T,C,G这4种碱基.DNA分子由于碱基对的数量不同，碱基对的排列顺序千变万化，因而构成了DNA分子的多样性.成百上千个碱基组成的DNA分子的种数到底有多巨大，你知道如何计算吗？

4)备受关注的法国欧洲杯在6月拉开帷幕，2016年的欧洲杯将是首次采用24支球队参赛制，这24支球队被分为6个小组，每个小组4支球队，那么小组赛要打几场？从小组赛到最后决赛，整个欧洲杯总共要打几场比赛？

5)在2016年3月的围棋人机大战中，阿尔法狗以4∶1战胜了韩国名将李世石，这件事之所以引起很大的轰动，是因为围棋挑战一直以来被称作人工智能的“阿波罗”计划.早在1997年,人工智能就已经攻克了象棋，围棋却始终攻克不了，因为围棋的可能性太多了，一局150回合的围棋可能出现的局面多达10170种.早在北宋时期，科学家沈括就在《梦溪笔谈》里就记载了围棋棋局总数的计算问题.

师：计数问题在生活中、在各个领域都广泛存在，接下来大家能不能从身边找些例子.

生7：一天的课表安排.

生8：高考选考科目7选3.

生9：食堂套餐的菜品搭配，高考志愿填报等.

设计意图 通过实例分析，让学生了解什么是计数问题，感受计数问题广泛存在于生活中，并在相互交流讨论中加强对计数问题的认识和理解.

2.4 课堂小结，指引方向

师：请大家结合刚才的生活实例回答下面3个问题.问题1：这一章我们要研究什么？

生10：计数问题.

师：问题2：为什么要研究计数问题？

生11：生活中广泛存在.

师：问题3：我们应该怎样研究，是一个一个地数吗？

生12：不是，找规律.

师：对，我们要研究如何能不通过一个一个地数而确定个数，就是要探究计数的技巧.在计算密码个数时，我们用到了什么技巧？

生12：加法和乘法.

师：将加法和乘法运算进行推广就可得到分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这是计数原理中最重要也是最基础的2个原理.应用这2个原理，可以进一步推导计数问题中2类特殊问题的计数公式，即排列数公式和组合数公式，并在此基础上得到具有广泛应用的二项式定理，这就是我们即将要学习的内容.

设计意图 3个问题的探讨让学生明确本章学习的内容、意义和方法，然后在此基础上介绍本章内容框架，为学生提供一个清晰的学习路线图.

3 教学反思

在平时的教学中，章引言总是容易被遗忘.没有足够的课时，内容相对简单，空泛的介绍毫无意义……种种理由让我们对此视而不见、弃之不用.笔者在反复研读教材并实践教学计数原理章引言后惊喜地发现这个“被遗忘的角落”有着丰富的内涵和教学价值，是有利于教师“教”和学生“学”的宝贵资源.下面结合课例从3个方面谈谈本人对章引言教学的思考.

3.1 为何引

章引言位于每个章节起始位置，言简意赅地介绍了本章节所涉及的内容和思想方法，是章节内容的高度概括，起着提纲挈领的作用，它可以使学生初步了解该章节的学习目标、学习线索和学习方法.除此之外，章引言还结合学习内容图文并茂地展示相关的知识背景、数学史与数学文化、现实生活中的应用等，丰富的材料开拓了学生的数学视野，激发了学生的学习兴趣，让学生对即将开始的学习内容充满期待.

教材中计数原理的章引言首先列举了大量生活实例，然后指出计数问题的研究方法，再介绍本章的知识体系.这些材料可以让学生感受到计数问题源于生活，计数原理不是什么晦涩难懂的数学概念，而是由小学的加法和乘法运算推广而来，计数原理的应用很广泛.因此，通过章引言学生不仅看到了知识的“来龙”，而且知道了它的“去脉”，了解了知识的发生、发展过程，这将有助于学生克服畏难情绪，充满自信地开始新的学习.

3.2 怎么引

如何对教材内容进行再加工，才能使章引言教学引得巧、引得妙、引得恰到好处呢？陶维林教授曾提出章引言教学的几种处理方法，他指出应根据内容的不同采用不同的引入方法，并特别强调教学过程的“自然”和“恰当”[1].

要做到“自然”，我们需要结合具体内容，去追寻历史的足迹，去思考知识发生发展的逻辑，去洞悉学生思维的“最近发展区”，这样才能设计出切实可行、自然平顺的章引言课.本节课密码问题的设计就是在充分理解教材和理解学生的基础上创设的情境，让学生根据已有经验先机械地数，然后不断深化问题，让学生意识到对于复杂问题只会机械地数是不够的，必须从简单的、已经解决的计数问题中抽象出能够解决“一类”问题的方法.

要做到“恰当”，我们需要把握好度，适可而止，不要增加学生的负担，让学生产生畏惧心理.由于学生在初中阶段学习过用列举法或树状图来解决一些简单的计数问题，已经具备了一定的归纳、类比能力，因此引例中会使用“加法”和“乘法”来解决问题，但这只是不自觉的、感性的计数实践[2]，此时教师没有必要将其提升为自觉的、理性的计数原理，因为这是后续课程的内容，若生硬地将概念抛给学生，则效果必将适得其反.

3.3 引什么

3.3.1 引发兴趣，引导思考

德国教育家第斯多惠指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.”章引言课便是激发学生学习兴趣、激活学生思维、鼓舞学生不断追求新知、充分调动学生学习主动性的重要教学环节.本节课由小游戏“猜密码”引入，围绕密码问题层层设问，让学生由最简单的计数问题开始，经历从“一个一个地数”，到“按规律用加法、乘法来计算”，再到“需要寻求快速简便的方法来解决此类问题”这样的思维过程，使他们对新知产生了强烈的好奇心和求知欲，并充分感受了数学学科“追求最大限度的一般性模式，特别是一般性算法的倾向”的思维特点.

3.3.2 引出主题，指引方向

章引言课无论以怎样的形式导入，最终的目的只有一个，那就是引出本章的主题，介绍即将学习的内容，而这个过程必然会涉及一些尚未学习的概念，此时没有必要对这些新概念一一解释，只需带领学生粗略地展望新的学习内容，了解概貌即可.当然，除了教学内容之外，教师更应该尽力渗透学习方法、学习策略的指导，关注对学生思维、思想的引领，在开启新篇章之际，引领学生入门.

本节课密码种数的探究就是让学生在解决简单的计数问题中体会“加法”和“乘法”是将若干个“小的数”结成“较大的数”的最基本技巧，从而为后续学习中进一步由这种技巧推广到分类加法计数原理和分步乘法计数原理奠定基础.同时课堂中典型而丰富的生活实例，引导着学生们用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界.

常言道：“师傅领进门，修行在个人.”学习的关键在于学生的“悟”，但也离不开教师的“引”，特别是在学习新的篇章之际，教师的引领更为重要.教师要做好学生的“领路人”，充分挖掘章引言的内涵和价值，自然、恰当地在教学中进行应用，从而引发学生的学习兴趣，引导学生学会思考，引领学生在数学的世界中探索遨游.

[1] 陶维林.研究章引言 上好起始课[J].中国数学教育,2010(3)：11-13.

[2] 罗增儒.“两个基本计数原理”的教学分析——“2016年高中数学特色课堂案例分析研修会”发言稿(节选整理之二)[J].中学数学教学参考,2016(6)：25-29.

2017-03-08；

2017-04-10

周 霞(1981-)，女，浙江宁波人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)06-30-04