谈培养初中生数学交流素养的教学研究——以“方差”教学为例

苏德杰

（广东省广州市二度学法研究中心）

谈培养初中生数学交流素养的教学研究
——以“方差”教学为例

苏德杰

（广东省广州市二度学法研究中心）

结合“基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究”课题研讨课例“方差”的观课、议课，围绕初中生数学交流素养的培养，探析在课堂教学不同阶段的教学策略.提出基于学生经验以明晰交流主线，营造认知冲突以挖掘交流深度，落实研究方法并关注语言互化和学法指导，使数学交流更具平等性.

统计思想；研究方法；学法指导；数学交流

一、前言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对总目标分为知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面进行阐述.其中在“数学思考”中提出两个目标：一是学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式；二是在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理能力和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.这两个目标紧密相连，是相互交融的有机整体.独立思考是隐性的，需要通过交流将其显性化，以便于教师在教学中分析学情、调整策略、达成目标，故课堂教学中要注重数学交流具有现实意义，也是初中生必须具备的一种交流素养.

笔者参与的课题研究中，是从信息学角度来界定数学交流素养的.在数学学习活动中通过阅读、讨论、辩论、合作等方式理解、提取有效数学信息，用书面、口头形式进行合理推断、表达自我数学观点、反思与评价自己和他人观点的能力.以下结合几个问题的思考，对研讨课例“方差”进行解读，以观课者的角度探析培养初中生数学交流素养的相应教学策略.

二、探析

问题1：在问题引入和理解阶段，如何基于学生经验，凸显学科思想，明晰数学交流的主线？

学习新知识时需要基于原有经验，对原有经验要么同化，要么顺应，这就是温故知新.方差是描述一组数据离散程度的重要特征数，它全面、平均的表示一组数据的离散程度，而学生已经学习过描述集中趋势的特征数：平均数、中位数、众数，这些都是统计分析中的重要的参考数据.所以，在方差概念形成过程的初始阶段，学生分析一组数据的方向会很自然的以上述三个特征数作为切入点.此时学生会因选择特征数不同而有不同的看法，教师看待这些不同看法的角度，决定了学生思考和交流的质量，所以我们要关注概率统计的核心思想.概率统计是一种研究“不确定性”的数学分支，与传统研究“确定性”的数学有较大区别，在分析一组数据趋势做出合理决策的时候，追求的不是“对不对”，而是“合适不合适”.

授课教师设置“选派哪位运动员去参加比赛更合适呢？”的问题，该情境贴近学生生活，可以让学生的思考和表达发散出来，此时教师围绕本质，精心设置问题串，有利于问题的聚焦，由此顺其自然地引发学生对研究一组数据稳定性的思考.从课堂实效性来看，由于教师紧扣交流主线，引导学生从不同角度去理解问题，使得学生思考和交流的质量比较高，凸显了学科思想.

问题2：在问题分析阶段，如何营造认知冲突，落实研究方法，挖掘数学交流的深度？

学数学的目的是学习数学的研究方法，提升思维能力.学起于思，思源于疑，疑问源于与已有经验的冲突，让人陷入深思，引发研究.因此，课堂教学需要从数学研究方法入手，关注营造认知冲突的好问题的设计，以激发学生思考.那么怎样通过问题来保证思考、交流的高质量呢？答案很明确，就是落实研究方法，挖掘数学交流的深度.

在问题分析阶段，授课教师先提出问题：同学们能从表格中的两组数据看出谁更加稳定吗？请比较两组数据的差异，再用数据表达你的观点.这个问题启发学生从数的角度去研究问题，发现不太容易分析，就有了第一次的认知冲突.数学研究往往可以从数与形两个方面去研究，倘若从数的角度不便于研究，那就从形的角度去研究问题：以射击的序号为横坐标，对应成绩为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，借助图形的直观，分析这两组数据的稳定性，再运用数据表达自己的观点.教师引领学生进一步研究，正是落实数学研究方法的具体体现.两个问题，都强调“运用数据表达你的观念”的交流方式，这既体现概率统计的核心思想，又有利于学生根据数据做出合情推理，养成推理有依据的好习惯.如此，数学交流的质量就有了保障.

当呈现两组数据的散点图时，教师并不急着往下讲，而是让学生观察两个图形，尝试比较两组数据的稳定性.学生慢慢发现因为缺乏基准量而难以比较两者的稳定性，无形中营造了第二次认知冲突.于是寻找基准量就成为进一步研究的方向.这是一种无声的数学交流，是“无声胜有声”！由于学生对平均数的意义有了一定的理解，而且两组数据的平均数是一样的，以平均数作为基准量就顺其自然了.

但面对如此多的数据，该怎样开展研究呢？教师连续抛出两个问题：一是我们可以用什么量来刻画某次成绩相对平均数的波动大小？二是点到直线a的距离是一个非负数，我们可以用什么量来表示它？这两个问题告诉学生应当先研究个别情况.当研究透彻后，又设置两个问题：用什么量才能刻画出一组数据相对其平均数的波动大小？数据的个数对结果有影响吗？怎样避免？学生在层层深入的问题引领下，很快揭开整体情况的神秘面纱，对问题的理解就相当透彻了.

在这个阶段中，教师通过设置问题串，不断营造认知冲突，在解决认知冲突的过程中自始至终落实数学研究的方法，采取先小组讨论、全班交流、教师相机点拨的方式，既创造充分的时间与空间让学生发挥，又时刻引领着数学交流向纵、深方向伸展.

问题3：在问题解决阶段，如何引入符号表示，学会语言互化，提升数学交流能力？

数学语言是进行数学思维与交流的工具，运用数学语言的能力与水平是数学素养的重要方面.在学习数学的过程中，往往有自然语言、图形语言、符号语言的交替使用.自然语言就是文字语言，便于理解问题的本质，图形语言的表达非常直观，符号语言则简洁而准确.三种语言各有优点，故在数学交流中学会互化和灵活运用，有利于提升数学交流能力.

在问题解决阶段，授课教师先让学生用自然语言回顾问题分析的各个步骤，从中判断他们对方差本质理解的程度，为下一步的语言互化做好准备.当学生回顾整理后，教师引入符号表示，通过全班交流，让学生感悟符号语言的简洁与准确，也明白正是从个别到一般的过程，使得解决方法的应用范围拓宽了.有了这种感悟，学生在以后的数学交流中，就有了使用符号语言交流、进行语言互化的意识，长此以往，数学交流能力就得到较大提升.

问题4：在归纳反思阶段，如何关注学法指导，促进学力发展，使得数学交流更具平等性？

数学思维是隐性的，若学生不进行数学交流，就无从得知他的真实思维情况，教师就难以针对性地给予帮助.一部分学生往往不愿意交流的原因，并非是不想交流，而是学习能力不足，导致对问题的理解不够全面、深入，故害怕在交流中出错.这种理解水平的差异，不但发生在生生之间，也在师生之间存在.

为了尽量拉近学习能力的距离，促进数学交流的平等，在归纳、反思阶段，关注学法指导就成为一种必然选择.

在小结时，授课教师设置“什么是方差？”“方差有什么作用？”与“计算方差的具体步骤是怎样的？”三个问题，帮助学生明晰：在学习一个新知识时，先弄清知识的必要性，再理解知识的内涵与外延，最后掌握运用知识的思考顺序.这样蕴含学法指导的小结，体现数学研究方法的无声自悟，促进了学生学力的发展，也使得数学交流有了更平等的可能.

三、结束语

《标准》非常重视积累“数学基本活动经验”，笔者认为两点可达：一是要靠数学实验，如做一做、折一折、拼一拼、摆一摆，等等；二要靠数学交流，在表达中发现自己数学经验的不足，进而完善.非常认同德国教学论专家泰勒（K.Schaller）与费舍尔（K-H.Schafer）的观点：教学过程是一种交往过程.既然数学教学是一种交往过程，那必定离不开数学交流.在数学教学过程中，提升数学交流素养，必须关注学生经验，营造认知冲突，善用三种语言，重视学法指导.以此聚焦知识本质，倡导平等交流，及时分析调整，以促进学生数学思维能力的提升.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2017—07—12

广东省教育科研“十二五”规划2015年度重点项目——基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究（2015ZQJK035）.

苏德杰（1978—），男，中学一级教师，主要从事数学教法、学法和解题研究.